Метрика Громова — Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Громовым в 1981.[1]

Определение[править | править исходный текст]

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств X и Y определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях X\hookrightarrow Z и Y\hookrightarrow Z в общее метрическое пространство Z. При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам Z.

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между X и Y в дизъюнктном объединении X\sqcup Y, снабжённым метрикой \rho такой, что сужение \rho на X совпадает с метрикой на X и сужение \rho на Y совпадает с метрикой на Y. При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам \rho.

Комментарии[править | править исходный текст]

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами X и Y» говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между X и Y».
  • Расстояние между изометрическими классами X и Y обычно обозначается d_{GH}(X,Y)
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается \mathcal{M} или \mathfrak{M}.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств X_n сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства X_\infty, если d_{GH}(X_n,X_\infty)\to0 при n\to\infty

Свойства[править | править исходный текст]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение \infty, то можно также отказаться от конечности диаметра.

Литература[править | править исходный текст]

  1. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981
  • M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1980.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
  • Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.