Метрика Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть X и Y суть два непустых компактных подмножества метрического пространства M. Тогда расстояние по Хаусдорфу, d_H(X,\;Y), между X и Y есть минимальное число r такое, что замкнутая r-окрестность X содержит Y и также замкнутая r-окрестность Y содержит X.

Другими словами, если |xy| обозначает расстояние между точками x и y в M то

d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.

Свойства[править | править исходный текст]

Пусть F(M) обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства M с метрикой Хаусдорфа:

  • Топология пространства F(M) полностью определяется топологией M.
  • (Теорема Бляшке) F(M) компактно тогда и только тогда, когда компактно M.
  • F(M) полно тогда и только тогда, когда M полное.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть X и Y два компактных подмножества евклидова пространства, тогда D_H(X,\;Y) определяется как минимум d_H(I(X),\;Y) по всем движениям евклидова пространства I. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Ссылки[править | править исходный текст]