Метрический тензор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческий те́нзор или ме́трика — это симметричное тензорное поле ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

  • (Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу).

Способы задания[править | править вики-текст]

Координатное представление[править | править вики-текст]

Метрический тензор в локальных координатах x^1,x^2,\dots,x^n, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле g_{ij}\ . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей \partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}:

\left\langle\partial_i,\partial_j\right\rangle=g_{ij}.

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

\left\langle v,w\right\rangle=g_{ij}v^iw^j,

где v=v^i\partial_i\ , w=w^i\partial_i — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания[править | править вики-текст]

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора g^{ij}.

В случае невырожденных метрик

g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k,

где \delta^i_kсимвол Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор g^{ij}, но тензор g_{ij} для неё неопределён.

Представление в поле реперов[править | править вики-текст]

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля ~\{e_i(p)\} и матрицы g_{ik}(p) = \langle e_i(p), e_k(p)\rangle.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика[править | править вики-текст]

Метрика, которая индуцируется гладким вложением r многообразия M в евклидово пространство E, может быть посчитана по формуле:

g = J_r^T J_r,

где J_r означает матрицу Якоби вложения r и J^T_rтранспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства \frac{\partial}{\partial x_i}, которые в этом случае можно отождествить с \frac{\partial r}{\partial x_i}, определяются как

g_{ij}=g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)=
\left\langle\frac{\partial r}{\partial x_i},\frac{\partial r}{\partial x_j}\right\rangle,

где \langle*,*\rangle обозначает скалярное произведение в E.

Более обобщенно[править | править вики-текст]

Пусть (N,h) многообразие с метрикой и r:M\to N гладкое вложение. Тогда метрика g на M, определённая равенством

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))

называется индуцированной метрикой. Здесь dr обозначает дифференциал отображения r.

Типы метрических тензоров[править | править вики-текст]

Совокупность метрических тензоров g подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда \ \det(g_{ij}) \neq 0 во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  • Вырожденные метрики, когда \ \det(g_{ij}) = 0 либо \ \det(g^{ij}) = 0 в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на ее основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём[править | править вики-текст]

Определитель матрицы метрического тензора |\det \{g_{ij}\}| дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|} играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|} входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

S = \int s(x)\,d\Omega = \int s(x) \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}\,dx^1\,dx^2\,\ldots\,dx^n,

где d\Omega — это элемент n-мерного объема, а dx^iдифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах: (r,\theta)
      g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса R, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах (\theta,\varphi) метрика принимает вид:
    g = \begin{bmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.
  • Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах: (r,\theta,\phi):
      g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством[править | править вики-текст]

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть v \in T_p M — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g на M, мы получаем, что g(v,\cdot), то есть отображение, которое переводит другой вектор w \in T_p M в число g(v,w), является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) T_p^*M. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что g сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

\ g_{ij}v^j = v_i — опускание индекса для вектора,
\ g^{ij}v_j = v^i — поднятие индекса для вектора,
\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} — пример одновременного поднятия индекса j и опускания индекса n для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963