Механика контактного взаимодействия

Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

История

Классическая механика контактных взаимодействий связана прежде всего с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR – теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перcсон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Классические задачи механики контактного взаимодействия

Контакт между шаром и упругим полупространством

Контакт между шаром и упругим полупространством

Твёрдый шар радиуса $R$ вдавливается в упругое полупространство на глубину $d$ (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса $a=\sqrt{Rd}$.

Необходимая для этого сила равна

$F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}$,

причём

$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}$.

$E_1$ и $E_2$ здесь модули упругости, а $\nu_1$ и $\nu_2$ — коэффициенты Пуассона обоих тел.

Контакт между двумя шарами

При контакте двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$ эти уравнения справедливы соответственно для радиуса $R$

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}$

с

$p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}$.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для $\nu = 0,33$ при $z\approx 0,49a$ .

Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами $R$

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом $R$ и плоскостью (см.выше).

Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}$

причём

$p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}$.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

$F=2aE^*d\frac{}{}$.

Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством

Контакт между конусом и упругим полупространством

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

$d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta$.

$\theta$ есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

$p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}-\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)$ .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

$F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}$.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

$F=\frac{\pi}{4}E^*Ld$.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

$a=\sqrt{Rd}$ ,

с

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

$p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}$.

Контакт между шероховатыми поверхностями

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, то реальная площадь контакта $A$ намного меньше, чем видимая площадь $A_0$. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе $F$ и определяется следующим уравнением:

$A=\frac{\kappa}{E^*h'}F$

При этом $h'$ — среднеквадратичное значение неровности плоскости и $\kappa \approx2$. Среднее давление в реальной площади контакта

$\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'$

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости $E^*$, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности $h'$. Если это давление больше твёрдости $\sigma _0$ материала и, таким образом

$\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2$,

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для $\Psi <\frac{2}{3}$ поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина $\Psi$ была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Метод редукции размерности

Замещение трехмерного профиля одномерным

Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.

Литература

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
• В.Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.
• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47–57.
• S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413–1422.
• V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp.41-62.