Механика контактного взаимодействия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

История[править | править вики-текст]

Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR – теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Классические задачи механики контактного взаимодействия[править | править вики-текст]

Контакт между шаром и упругим полупространством[править | править вики-текст]

Контакт между шаром и упругим полупространством

Твёрдый шар радиуса R вдавливается в упругое полупространство на глубину d (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса a=\sqrt{Rd}.

Необходимая для этого сила равна

F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2},

причём

\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}.

E_1 и E_2 здесь модули упругости, а \nu_1 и \nu_2коэффициенты Пуассона обоих тел.

Контакт между двумя шарами

При контакте двух шаров с радиусами R_1 и R_2 эти уравнения справедливы соответственно для радиуса R

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}

с

p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для \nu = 0,33 при z\approx 0,49a .

Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами R[править | править вики-текст]

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом R и плоскостью (см.выше).

Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством[править | править вики-текст]

Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2},

причём

p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

F=2aE^*d\frac{}{}.

Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством[править | править вики-текст]

Контакт между конусом и упругим полупространством

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta.

\theta есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}-\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right) .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями[править | править вики-текст]

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

F=\frac{\pi}{4}E^*Ld.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

a=\sqrt{Rd} ,

с

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2},

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}.

Контакт между шероховатыми поверхностями[править | править вики-текст]

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, реальная площадь контакта A намного меньше, чем видимая площадь A_0. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе F и определяется следующим уравнением:

A=\frac{\kappa}{E^*h'}F

При этом h' — среднеквадратичное значение неровности плоскости и \kappa \approx2. Среднее давление в реальной площади контакта

\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости E^*, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности h'. Если это давление больше твёрдости \sigma _0 материала и, таким образом

\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2,

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для \Psi <\frac{2}{3} поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина \Psi была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Метод редукции размерности[править | править вики-текст]

Замещение трехмерного профиля одномерным

Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.[1] [2]

Энергия при упругом контакте[править | править вики-текст]

К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR — по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.

Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Держагуин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.

Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.

Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии. Так исследования Герца в дни его работы лектором, которые он сам с его трезвой самооценкой считал тривиальными, ещё до его великих трудов по электромагнетизму, попали в век нанотехнологий.

Литература[править | править вики-текст]

  • K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
  • Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
  • Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
  • В.Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.
  • I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47–57.
  • S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413–1422.
  • V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp. 41–62.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Popov, V.L., Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales, Friction, 2013, v.1, N. 1, pp.41–62.
  2. Popov, V.L. and Heß, M., Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung, Springer, 2013.