Механическое равновесие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Механи́ческое равнове́сие — состояние механической системы, при котором сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю.

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

Определение через энергию системы[править | править вики-текст]

В механике сплошной среды, где принимается гипотеза сплошности, такое определение неприменимо. К тому же данное определение ничего не говорит об одной из наиболее важных характеристик равновесия — его устойчивости. Поэтому более общее и распространённое определение механического равновесия звучит так: Механическое равновесие — состояние системы, при котором её положение в конфигурационном пространстве находится в точке с нулевым градиентом потенциальной энергии.

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями, это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия[править | править вики-текст]

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

  • неустойчивое равновесие;
  • устойчивое равновесие;
  • безразличное равновесие.

Неустойчивое равновесие[править | править вики-текст]

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.

Устойчивое равновесие[править | править вики-текст]

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Другими словами, положение устойчивого равновесия - это такое положение, что если из него тело отклонить слегка, то оно в него вернётся. И почему же устойчивое равновесие так устойчиво? А просто потому, что основная тяжесть тела при нахождении в нём расположена очень низко, ниже точки опоры. И если это условие выполняется, то тело не склонно выходить из этого положения, каким бы шатким оно на первый взгляд ни казалось. Тот же канатоходец, многие научные игрушки и т.д. основаны на этом принципе. На законах равновесия можно построить очень интересные занятия для детей #перенаправление [1]

Безразличное равновесие[править | править вики-текст]

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы[править | править вики-текст]

Если система имеет несколько степеней свободы, то может оказаться, что при отклонениях вдоль конкретного направления равновесие устойчиво, но если равновесие неустойчиво хотя бы в одном направлении, то оно неустойчиво и в целом. Простейшим примером такой ситуации является точка равновесия типа «седловина» или «перевал».

Равновесие системы с несколькими степенями свободы будет устойчивым только в том случае, если оно устойчиво по всех направлениям.

Ссылки[править | править вики-текст]