Многозначная функция

Функция от элемента «3» принимает два значения

Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента.

Формально, многозначная функция из множества $X$ в множество $Y$ — бинарное отношение $F$ между множествами $X$ и $Y$ такое, что для любого $x\in X$ найдётся такой $y\in Y:\ x{\mathrm F}y$.

Многозначную функцию рассматривают также как подмножество-значную: каждому $x\in X$ ставится в соответствие множество ${\mathrm F}(x)\subset Y:\ {\mathrm F}(x)=\{y\in Y|\ x{\mathrm F}y\}$, по определению, непустое. Обычные функции, рассматриваемые в качестве мультифункций, имеют значениями множества, состоящие ровно из одного элемента.

Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции.

В комплексном анализе и алгебре

Характерный пример многозначных функций — некоторые аналитические функции в комплексном анализе. Неоднозначность возникает при аналитическом продолжении по разным путям. Также часто многозначные функции получаются в результате взятия обратных функций.

Например, функция «квадратный корень» имеет два значения, отличающиеся лишь знаком.

В комплексном анализе понятие многозначной функции тесно связано с понятием римановой поверхности — поверхности в многомерном комплексном пространстве, на которой данная функция становится однозначной.

См. также

• Многозначное отображение
• Риманова поверхность

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1972.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.