Многочлены Бернулли

Многочлены Бернулли

В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале $\ [0,1]$ не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Определение

Многочлены Бернулли $\ B_n(x)$ можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формула

$B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k$, где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты, $\ B_k$ — числа Бернулли.

Или

$B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.$

Производящая функция

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

Представление дифференциальным оператором

$B_n(x)={D \over e^D -1} x^n$, где $D$ — оператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степеней

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

$\ B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.$

Свойства

Начальные значения

начальные значения многочленов Бернулли при $\ x=0$ равны соответствующим числам Бернулли:

$\ B_n(0)=B_n$.

Дифференцирование и интегрирование

Вычисляя производную от производящей функции:

$t e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n$.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем $\ t$, поэтому

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\ t$, получаем:

$\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}$, откуда

$\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x)$. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

$\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt$.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

$\int_0^1B_n(x)dx=0$ (при $n>0$ )

Теорема об умножении аргумента

Пусть — произвольное натуральное число, тогда

$\sum_{n=0}^\infty B_n(mx) \frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{mxt}}{e^t-1}= \frac{1}{m}e^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}t^n.$

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

$B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right)$.

Симметрия

$\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),$

$\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.$

Ссылки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.