Многочлены Лагерра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Многочлены Лягерра»)
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Лагерра
Общая информация
Формула

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)

Скалярное произведение

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx

Область определения

 x \ge 0

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

Названы в честь

Лагерр, Эдмон Никола

В математике, многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как L_0,\;L_1,\;\ldots, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\choose k}x^k.

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленов[править | править вики-текст]

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Первые 6 многочленов Лагерра.

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad\forall k\geqslant 1,

предопределив первые два полинома как:

L_0(x)=1,
L_1(x)=1-x.

Обобщённые полиномы Лагерра[править | править вики-текст]

Обобщённые полиномы Лагерра имеют вид: L_{n,\;l}=A_0+A_1r+\ldots+A_{n-1-l}r^{n-l-1}, где:

Обобщённые полиномы Лагерра L_n^a(x) являются решениями уравнения:

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

так что L_n(x)=L_n^0(x).


Примечания[править | править вики-текст]