Многочлены Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Многочлены Чебышева»)
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Чебышёва первого рода
Общая информация
Формула

T_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k}

Скалярное произведение

 (f, g) = \int_{-1}^{1} {\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} f(x) g(x) dx}

Область определения

[-1, 1]

Дополнительные характеристики
Названы в честь

Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочлены Чебышёва второго рода
Общая информация
Формула

U_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}

Скалярное произведение

 (f, g) = \int_{-1}^{1} {\sqrt{1-x^2} f(x) g(x) dx}

Область определения

[-1, 1]

Дополнительные характеристики
Названы в честь

Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочле́ны Чебышёва[К 1] — две последовательности ортогональных многочленов  T_n(x) и  U_n(x), n=\{0,1,\dots\} названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

  • Многочлен Чебышёва первого рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n-1}, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке [-1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышёва второго рода
  • Многочлен Чебышёва второго рода U_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^n, интеграл от абсолютной величины которого по отрезку [-1,1] принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.
Многочлены Чебышёва первого рода

Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Определения[править | править вики-текст]

Рекуррентные формулы[править | править вики-текст]

Многочлены Чебышёва первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

Многочлены Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

Явные формулы[править | править вики-текст]

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1\,

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};
U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.

Тригонометрическое определение[править | править вики-текст]

Многочлены Чебышёва первого рода T_n(x)\, могут быть также определены с помощью равенства:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,

или, что почти эквивалентно,

T_n(z)=\cos(n \arccos(z))\,

Многочлены Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

 U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

Примеры[править | править вики-текст]

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

 T_0(x) = 1 \;
 T_1(x) = x \;
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \;
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \;
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \;
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \;
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \;
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \;
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \;
 T_{n+1}(x) = 2x\cdot T_n - T_{n-1}.

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

 U_0(x) = 1 \;
 U_1(x) = 2x \;
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \;
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \;
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \;
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \;

Свойства[править | править вики-текст]

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

  • Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
  • Сумма коэффициентов многочленов Чебышёва первого рода ~T_k(x) равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода ~U_k(x) равняется k+1.
  • Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} для многочленов первого рода и \sqrt{1-x^2} для многочленов второго рода).
  • Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [-1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
    • наибольший старший коэффициент
    • наибольшее значение в любой точке за пределами [-1,1]
    • если n \equiv k \pmod{2}, то |a_{k-1}| + |a_k| \le |t_{k}|, где t_k — коэффициент многочлена Чебышёва первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
  • Нули полиномов Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
  • На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:
T_n(1)=1 T_n(-1)=(-1)^n T_{2n}(0)=(-1)^n T_{2n+1}(0)=0
U_{n}(1)=n+1 U_{2n}(0)=(-1)^n U_{2n+1}(0)=0
  • Многочлен Чебышёва первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.

Применения[править | править вики-текст]

1. Теория приближений, приближение экспериментальных данных(точек) функцией.
Многочлены Чебышева используются для приближения функцией(рядом многочленов Чебышева) экспериментальных данных, для этого область определения экспериментальных данных должна быть линейно отображена в интервал ортогональности аппроксимирующих многочленов, в данном случае это многочлены Чебышева, с интервалом ортогональности [-1,1].
l\colon X_i\to [-1, 1], где l - линейное отображение, X_i - область определения точек.
Примером отображения l, отображающего заданный интервал в область ортогональности многочленов, l\colon [x_{min}, x_{max}] \to [-1, 1], может быть функция:
l(x) = \frac{2x - (x_{max} + x_{min})}{x_{max} - x_{min}}
2. Многочлены Чебышёва применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Комментарии[править | править вики-текст]

  1. Вопреки распространённому произношению старинной дворянской фамилии учёного — Чебышёв[1][2][3] — с ударением на первый слог (Чéбышев), обусловленному характерной для XX века тенденцией к обособлению фамилий на -ов/-ёв от исходных притяжательных прилагательных[2] и традиционным неразличением е/ё на письме, 4-е издание академического «Русского орфографического словаря» (2013), словарь ударений «Собственные имена в русском языке» (2001) и профильные академические издания, последовательно использующие ё при передаче имён и названий, фиксируют в качестве орфографической и орфоэпической нормы написание и произношение Чебышёв[4][5][6][7].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Чебышев Пафнутий Львович / Б. В. Гнеденко // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1978. — Т. 29 : Чаган — Экс-ле-Бен. — 640 с. — В заголовке статьи: «Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович…»
  2. 1 2 Унбегаун, Б. О. Русские фамилии / пер. с англ. Л. В. Куркиной, В. П. Нерознака, Е. Р. Сквайрс; ред. Н. Н. Попов. — М. : Прогресс, 1989. — С. 349. — ISBN 5-01-001045-3.
  3. Калиткин, Н. Н. Численные методы : учебное пособие. — 2-е изд., испр. — СПб. : БХВ-Петербург, 2011. — С. 33 [чебышёвская система функций], 465 [чебышёвский набор шагов], 552 [критерий Чебышёва], 574 [многочлены Чебышёва]. — (Учебная литература для вузов). — ISBN 978-5-9775-0500-0.
  4. Чебышёв [многочлены Чебышёва, формула Чебышёва] ; чебышёвский // Русский орфографический словарь / Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова; под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. — Изд. 4-е, испр. и доп. — М. : АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2013. — С. 819. — (Фундаментальные словари русского языка). — ISBN 978-5-462-01272-3.
  5. Агеенко, Ф. Л. Чебышёв Пафнýтий // Собственные имена в русском языке : словарь ударений. — М. : Издательство НЦ ЭНАС, 2001. — С. 349. — ISBN 5-93196-107-0.
  6. Журнал вычислительной математики и математической физики. — М. : Издательство АН СССР, 1982. — № 1. — Т. 22. — С. 142 [чебышёвский центр множества].
  7. Математический сборник. — М. : Наука, 2004. — Т. 195. — С. 29 [чебышёвский альтернанс], 56—57 [чебышёвский метод].

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]