Многочлены Шура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от n переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму n неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем n столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров[en] соответствующих представлений симметрической группы S_n.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Многочлен Шура степени d, соответствующий разбиению d=d_1+\dots+d_n, \quad d_1\ge \dots\ge d_n\ge 0, равен[1]


s_{(d_1,\dots,d_n)}(x_1,\dots,x_n) = \frac{\det (x_i^{d_j+n-j})_{i,j=1}^n}{\det (x_i^{n-j})_{i,j=1}^n}.

Связь с представлениями симметрической группы[править | править исходный текст]

Многочлен Шура s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n), соответствующий диаграмме Юнга \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n), выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k с коэффициентами, выражающимися через значения характера \chi_{\lambda} соответствующего \lambda представления симметрической группы S_n. А именно,


s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k!},

где запись \rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots) означает, что в классе сопряжённости \rho в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется r_j циклов длины j.

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. А. Окуньков, Г. Ольшанский, «Сдвинутые функции Шура», Алгебра и анализ, 9:2 (1997), 73-146