Многочлены Эрмита

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Эрмита
Общая информация
Формула

H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}

Скалярное произведение

(f, g) = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x)g (x)dx

Область определения

 x \in R

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0

Норма

||H_n|| = \sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}

Названы в честь

Эрмит, Шарль

Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.

Определение[править | править вики-текст]

Графики многочленов Эрмита порядка n=0,1,...,5 (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

H_n^\mathrm{math}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!;

в физике обычно используется другое определение:

H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!.

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{math}(\sqrt{2}\,x)\,\!.

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

H_0(x)=1\,
H_1(x)=x\,
H_2(x)=x^2-1\,
H_3(x)=x^3-3x\,
H_4(x)=x^4-6x^2+3\,
H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,
H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,
H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,
H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,
H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,
H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\, .

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=2x\,
H_2(x)=4x^2-2\,
H_3(x)=8x^3-12x\,
H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,
H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,
H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,
H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,
H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: 
H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,

Свойства[править | править вики-текст]

Многочлен H_n(x) содержит члены только той же чётности, что и само число n:

H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~ n=0,1,2, \ldots .

При x=0 верны такие соотношения:

H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n}{2^n}\dfrac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots, (в вероятностном определении)
H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n (2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots. (в физическом определении)

Уравнение H_n(x)=0 имеет n действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины \sqrt{n(n-1)/2}. Корни многочлена H_n(x)=0 чередуются с корнями многочлена H_{n+1}(x)=0.

Многочлен H_n(x) можно представить в виде определителя матрицы n \times n:


H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc}
x &  n-1  &  0   &  0  & \cdots  &  0 \\
1 &   x   & n-2  & 0 & \cdots  & 0 \\
0 &   1   &  x   & n-3 & \cdots  & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{array}\right |

Формула сложения[править | править вики-текст]

Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:


\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

  • a_1=a_2=\cdots =a_n=1, x_1=x_2=\cdots =x_n. Тогда
 n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x).
  • n=2, a_1=a_2=1, x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y. Тогда

2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)
.

Дифференцирование и рекуррентные соотношения[править | править вики-текст]

Производная k-ого порядка от многочлена Эрмита H_n(x), n\ge k также есть многочлен Эрмита:

\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,
Отсюда получается соотношение для первой производной
H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=nH_{n-1}(x)
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:

H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:

H_n(x)-2xH_{n-1}(x)+2(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2

Ортогональность[править | править вики-текст]

Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале (-\infty,+\infty) с весом e^{-x^2/2}\,\! или e^{-x^2}\,\! в зависимости от определения:

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n! \sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}}, (в вероятностном определении)
\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^n n! \sqrt{\pi}~\delta_{\mathit{nm}}, (в физическом определении)

где \delta_{mn} — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого p справедлива запись


\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x),которые называются отношениями Нильса Нильсона:

A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}

Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:


{}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},

где {}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x) —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, \Gamma(x) — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент 
f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},
можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

 \mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),
 \cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),

Дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Многочлены Эрмита H_n(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения:

y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,

Если n является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как

y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)\,,

где A,B — произвольные постоянные, а функции h_n(x) называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций e^{x^2/2} и \int_0^x e^{z^2/2}dz.

Представления[править | править вики-текст]

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz

где \Gamma — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy.

Связь с другими специальными функциями[править | править вики-текст]

  • Связь с функцией Куммера:
    H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )
  • Связь с многочленами Лагерра:
    H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)\,\!

Применение[править | править вики-текст]


\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x) 
.
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям \lambda_n=2n+1. Нормированные на единицу, они записываются как

\psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots~
.
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита H_n^*(x).
  • Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности u_t-u_{xx}=0 на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t}. Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по \alpha:

e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t)
,
то функции P_n(x,t), которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию P_n(x,t=0)=x^n, выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:

P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy
.
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
  • В лазерной физике, а точнее - в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита-Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

Ссылки[править | править вики-текст]