Многочлен Бернштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.[1][2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение[править | править вики-текст]

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.

где \binom{n}{k}биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства \Pi_n многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты f\left(\frac{k}{n}\right) называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры[править | править вики-текст]

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b_{0,0}(x) = 1 \,
b_{0,1}(x) = 1-x \,
 b_{1,1}(x) = x \,
b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,
b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,
 b_{2,2}(x) = x^2 \ .

Свойства[править | править вики-текст]

Дифференцирование

b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)

b_{k,n}^{(l)}(x)=\frac{n!}{(n-l)!}\sum_{j=0}^{l}\binom{l}{j}b_{k-j,n-l}(x)

Леммы о моментах

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1 для любых n и x, так как \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n}

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0 для любых n и x

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.