Многочлены Чебышева

Многочле́ны Чебышева — две последовательности ортогональных многочленов T_n(x) и U_n(x), $n=\{0,1,\dots\}$ названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлены Чебышева первого рода

Многочлен Чебышева первого рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n − 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева второго рода

Многочлен Чебышева второго рода U_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ − 1,1] принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышева — Коркина и Золотарёва.

Рекурсивное определение

Многочлены Чебышева первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

Многочлены Чебышева второго рода U_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$

Явные формулы

Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:

$T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1\,$

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

$T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.$

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};$

$U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.$

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышева первого рода $T_n(x)\,$ могут быть также определены с помощью равенства:

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,$

или, что почти эквивалентно,

$T_n(z)=\cos(n \arccos(z))\,$

Многочлены Чебышева второго рода U_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышева первого рода

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,$

Несколько первых многочленов Чебышева второго рода

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

$U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,$

$U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,$

$U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \,$

Свойства

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

• Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
• Сумма коэффициентов многочленов Чебышева первого рода $~T_k(x)$ равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода $~U_k(x)$ равняется k + 1.
• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ для многочленов первого рода и $\sqrt{1-x^2}$ для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
  • наибольший старший коэффициент
  • наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1]
  • если $n \equiv k \pmod{2}$, то $|a_{k-1}| + |a_k| \le |t_{k}|$, где t_k — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
• Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
• На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:

Tn(1) = 1	Tn( − 1) = ( − 1)n	T2n(0) = ( − 1)n	T2n + 1(0) = 0
Un(1) = n + 1		U2n(0) = ( − 1)n	U2n + 1(0) = 0

Применения

Многочлены Чебышева применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышева. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения

• Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
• многочлены Фабера

Литература

• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики — М.: Физматлит, 1963.

Ссылки

• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12-19.

• Сайт, посвящённый методу дискретных особенностей в задачах математической физики, который основан на интерполяционных формулах с использованием полиномов Чебышева