Множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия [показать стабильную версию] (сравнить)

Данная версия страницы не проверялась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю проверенную или т. н. стабильную версию от 31 октября 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требует 1 правка.

Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения).

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, т.е. не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора: «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли», или Бертрана Расселла: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект считается множеством.

Содержание

1 История теории множеств
2 Элемент множества
3 Некоторые виды множеств и сходных объектов
4 Отношения между множествами
5 Операции над множествами
6 Литература
7 См. также

[править] История теории множеств

Основная статья: Теория множеств

До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872 - 1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.

В частности Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A (x)$ , обозначил $\{x\mid A(x)\}$ . Если некое множество $Y=\{x\mid A(x)\}$ , то $A (x)$ назвал характеристическим свойством множества $Y$ .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

На сегодняшний день, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

[править] Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).

[править] Некоторые виды множеств и сходных объектов

[править] Специальные множества

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество — множество, содержащее все мыслимые объекты.
Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

[править] Сходные объекты

Набор (в частности, упорядоченная пара) — совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угольных скобок, а элементы могут повторяться.
Мультимножество — множество с кратными элементами.
Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.

[править] По иерархии

Множество множеств
Подмножество
Надмножество

[править] Отношения между множествами

Основная статья: Подмножество

Два множества $A$ и $B$ могут вступать друг с другом в различные отношения.

$A$ включено в $B$ , если каждый элемент множества $A$ принадлежит также и множеству $B$ :

$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B$
$A$ включает $B$ , если $B$ включено в $A$ :

$A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A$ равно $B$ , если $A$ и $B$ включены друг в друга:

$A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)$
$A$ строго включено в $B$ , если $A$ включено в $B$ , но не равно ему:

$A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)$
$A$ строго включает $B$ , если $B$ строго включено в $A$ :

$A \supset B \Leftrightarrow B \subset A$
$A$ и $B$ не пересекаются, если у них нет общих элементов:

$A~$ и $B~$ не пересекаются $\Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B$
$A$ и $B$ находятся в общем положении, если существуют элемент, принадлежащий исключительно множеству $A$ , элемент, принадлежащий исключительно множеству $B$ , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

$A~$ и $B~$ находятся в общем положении $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)$