Множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое[1] [2]. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

История понятия[править | править вики-текст]

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил \{x\mid A(x)\}. Если некоторое множество Y=\{x\mid A(x)\}, то A(x) назвал характеристическим свойством множества Y.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества[править | править вики-текст]

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если a — элемент множества A, то записывают a \in Aa принадлежит A»). Если a не является элементом множества A, то записывают a \notin Aa не принадлежит A»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

\{6, 11\} = \{11, 6\} = \{11, 11, 6, 11, 6\}.

Некоторые виды множеств и сходных объектов[править | править вики-текст]

Специальные множества[править | править вики-текст]

Сходные объекты[править | править вики-текст]

  • Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
  • Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
  • Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
  • Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
  • Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
  • Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии[править | править вики-текст]

  • Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества).
  • Подмножество
  • Надмножество

Отношения между множествами[править | править вики-текст]

Диаграмма Венна для A \subset B

Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.

  • A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:
    A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B
  • A включает B, если B включено в A:
    A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A
  • A равно B, если A и B включены друг в друга:
    A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)
  • A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
    A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)
  • A строго включает B, если B строго включено в A:
    A \supset B \Leftrightarrow B \subset A
  • A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:
    A~ и B~ не пересекаются \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B
  • A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
    A~ и B~ находятся в общем положении \Leftrightarrow  \exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)

Операции над множествами[править | править вики-текст]

Диаграмма Венна для A \cup B
Диаграмма Венна для A \cap B
Диаграмма Венна для A \setminus B
Диаграмма Венна для A \triangle B

Бинарные операции[править | править вики-текст]

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

Если множества A и B не пересекаются, то A\cap B=\varnothing. Их объединение обозначают также: A+B=A\cup B.

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.

Унарные операции[править | править вики-текст]

Диаграмма Венна для (A \cap B)^\complement

Дополнение определяется следующим образом:

\overline A \equiv A^\complement :=\{x\mid x\notin A\}.

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество U, которое содержит A), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

\overline A=U\setminus A.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

2^X \equiv \mathcal PX := \{A\mid A\subset X\}.

Обозначение 2^X происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

\left|2^X\right|=2^{|X|}.

Булеан 2^X порождает систему множеств с фиксированным универсумом X, замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций[править | править вики-текст]

Сначала выполняются операции унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Мощность[править | править вики-текст]

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается |A| или \sharp A. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если A \subseteq B, то |A| \leqslant |B|) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: |2^A| = 2^{|A|} на случай бесконечных множеств (само обозначение 2^A мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается \aleph_0, это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается \mathfrak c или 2^{\aleph_0}. Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кантор:

    Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

    — Русский перевод — Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — С. 173.. Немецкий оригинал — Georg Cantor. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (нем.) // Mathematische Annalen. — 1895. — Т. 46. — С. 481.

  2. Рассел: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Литература[править | править вики-текст]

  • К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.