Множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мно́жество — набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех их характеристичным свойством.

Множество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.

Содержание

1 Теории
- 1.1 «Наивная теория множеств»
  - 1.1.1 История определения
- 1.2 Аксиоматическая теория множеств
2 Элемент множества
3 Некоторые виды множеств и сходных объектов
4 Отношения между множествами
5 Операции над множествами
6 Литература
7 См. также

[править] Теории

Существует два основных подхода к понятию множества — наивная и аксиоматическая теория множеств.

[править] «Наивная теория множеств»

Дать определение какому-нибудь понятию — это значит описать это понятие через понятия, определённые ранее. Если число определений в теории конечно, то первое определение должно быть основано на понятиях, которые являются аксиоматическими, то есть изначально неопределёнными. Множество — как раз одно из таких аксиоматических понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определённый набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, возникающим из-за того, что интуитивное понятие «чётко определённый» на самом деле само не определено чётко. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий, становится очевидной необходимость её строгой аксиоматизации.

Наивная теория множеств была создана Кантором в конце XIX века.

[править] История определения

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты называются элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A (x)$ , обозначается $\{x\mid A(x)\}$ . Если некое множество $Y=\{x\mid A(x)\}$ , то $A (x)$ называется характеристическим свойством множества $Y$ .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

После этого теория множеств была аксиоматизирована.

[править] Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

[править] Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).

[править] Некоторые виды множеств и сходных объектов

[править] Специальные множества

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество — множество, содержащее все мыслимые объекты.
Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

[править] Сходные объекты

Набор (в частности, упорядоченная пара) — совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угольных скобок, а элементы могут повторяться.
Мультимножество — множество с кратными элементами.
Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.

[править] По иерархии

Множество множеств
Подмножество
Надмножество

[править] Отношения между множествами

Основная статья: Подмножество

Два множества $A$ и $B$ могут вступать друг с другом в различные отношения.

$A$ включено в $B$ , если каждый элемент множества $A$ принадлежит также и множеству $B$ :

$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B$
$A$ включает $B$ , если $B$ включено в $A$ :

$A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A$ равно $B$ , если $A$ и $B$ включены друг в друга:

$A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)$
$A$ строго включено в $B$ , если $A$ включено в $B$ , но не равно ему:

$A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)$
$A$ строго включает $B$ , если $B$ строго включено в $A$ :

$A \supset B \Leftrightarrow B \subset A$
$A$ и $B$ не пересекаются, если у них нет общих элементов:

$A~$ и $B~$ не пересекаются $\Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B$
$A$ и $B$ находятся в общем положении, если существуют элемент, принадлежащий исключительно множеству $A$ , элемент, принадлежащий исключительно множеству $B$ , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

$A~$ и $B~$ находятся в общем положении $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)$