Множество раздела

Множество раздела или катлокус точки $p$ в римановом многообразии $M$ — подмножество точек $\operatorname{C}_p\subset M$, через которые не проходит ни одна кратчайшая из $p$.

Примеры

• Множество раздела точки $p$ стандартной сферы состоит из точки противоположной $p$

Свойства

• Множество раздела — замкнутое множество.
• Множество раздела имеет нулевой объём.
• Подмножество $M\backslash \operatorname{C}_p$ диффеоморфно шару
• Если между точками $p$ и $q$ существуют две различные кратчайшие, то $p\in \operatorname{C}_q$ и $q\in \operatorname{C}_p$.
• Если $p\in \operatorname{C}_q$ и кратчайшая $\gamma$ между ними единственна, то точки $p$ и $q$ являются сопряжёнными на продолжении $\gamma$.
• Если $M$ — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела $\operatorname{C}_p$ допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Без аналитичности $M$ множество $\operatorname{C}_p$ может быть даже нетриангулируемым.
• Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также

• Срединная ось

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию, -СПб: Наука, 1994. 318с