Модальная логика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется \Box и двойственный к нему \diamondsuit:

\diamondsuit A = \neg \Box \neg A.

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности[править | править вики-текст]

  • Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальные понятия:
    • Логические:
      • L — необходимо,
      • M — возможно,
      • С — случайно.
    • Фактические:
      • \Box — необходимо,
      • \Diamond — возможно,
      • \triangle — случайно.
  • Деонтические (др.-греч. δέοντος — должное, необходимое) модальные понятия:
    • обязательно,
    • разрешено,
    • запрещено.

Логику деонтических модальностей разработал финский философ Георг фон Вригт.

  • Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность) модальные понятия:
    • хорошо,
    • нейтрально,
    • плохо.

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

  • Эпистемические (др.-греч. ἐπιστήμη — знание) модальные понятия:
    • знание,
    • полагание,
    • незнание.

Эпистемическая логика разработана Яакко Хинтикка.

  • Временные:
    • прошлое,
    • настоящее,
    • будущее.
  • Пространственные:
    • там,
    • здесь,
    • нигде.

Семантика[править | править вики-текст]

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис[править | править вики-текст]

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных PL, классических связок \to, \bot, скобок (, ) и модального оператора \Box. А именно, формулой является

  1. p для любого p \in PL.
  2. \bot.
  3. (A \to B), если A и B — формулы.
  4. (\Box A), если A — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

\Box(p \to q) \to (\Box p \to \Box q)

и замкнутое относительно правил Modus ponens \frac{A, A\to B}{B}, подстановки \frac{A(p)}{A(B)} и введение модальности \frac{A}{\Box A}.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается K.

Конференции по модальной логике[править | править вики-текст]

Advances in Modal Logic (AiML) проводится раз в 2 года Methods for Modalities (M4M) — также

Литература[править | править вики-текст]

  • Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
  • Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
  • Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. – М: Наука, 1976. – 720с.
  • Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
  • Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См.также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]