Модели рассеивания примеси

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модели рассеивания примеси — математические модели распространения примесей в атмосфере.

Гауссовы модели[править | править вики-текст]

Гауссовы модели основаны на гипотезе о том, что распределение частиц в струе или облаке близко к нормальному.

Нестационарная Гауссова модель[править | править вики-текст]

Уравнение, описывающее распределение загрязняющего вещества для нестационарного случая
C(x,y,z,t)=\frac{Q}{(2\pi)^{3/2}\sigma_x\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{((x-x_0)-ut)^2}{2\sigma^2_x}]\exp[-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\}

  • C(x,y,z,t) - Концентрация загрязняющего вещества в точке с координатами x,y,z в момент времени t, [г/м3]
  • Q - мощность непрерывного точечного источника загрязнения, [г/с]
  • u - скорость ветра на высоте H метров, [м/с]
  • H - эффективная высота источника загрязнения, [м]
  • t - время транспорта, [с]
  • \sigma_x, \sigma_y - горизонтальные дисперсии, [м]
  • \sigma_z - вертикальная дисперсия, [м]
  • x_0, y_0, H - координаты точечного источника загрязнения, [м]

Параметры \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z увеличиваются с расстоянием x-x_0, скорость увеличения зависит от интенсивности турбулентности и тем самым от стабильности атмосферы. Для практического использования зависимости \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z от расстояние определяются на основании экспериментальных данных.

Стационарная Гауссова модель[править | править вики-текст]

Интегрируя по времени концентрацию загрязнений, выбрасываемых из непрерывного источника, можно получить установившееся распределение концентрации для стационарной модели Гаусса

C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi u\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\}

В обоих случаях направление ветра совпадает с направлением оси x В гауссовой модели также предполагается, что имеет место отражение загрязняющего вещества от поверхности земли. Отражение характеризуется членом в фигурных скобках. Модель построена в предположении однородности и устойчивости атмосферы.

Представленная модель имеет ряд недостатков:

  • Не учитывает рельеф поверхности
  • Не учитывает изменение метеорологических параметров в пространстве и во времени
  • Не описывает работу источников загрязнения работающих ограниченное время
  • Используются характеристики полученные для наземных, а не приподнятых источников
  • Не учитывает вертикальную структуру пограничного слоя

Гауссовы модели могут адекватно описывать распределение загрязняющего вещества только в горизонтальном направлении, для расчета вертикального профиля они применимы на очень коротких расстояниях.

Модель Пасквилла-Бригса[править | править вики-текст]

Значения дисперсий задаются в виде:

\sigma_y=p_1x(1+q_1x)^{-0.5}
\sigma_z=p_2x(1+q_2x)^{-1}
  • p_i, q_i - задаются таблично для каждого класса устойчивости атмосферы

Для расстояний от 100 м до 10 км в случае ровной открытой местности[1]
\sigma_y=\frac{\alpha_xx}{\sqrt{1+10^{-4}x}}
\sigma_z=\frac{\alpha_zx}{s_z(x)}

Таблица классов устойчивости Пасквилла[править | править вики-текст]

Скорость ветра, м/с Классы устойчивости атмосферы A-F
Дневное время. Уровень солнечного освещения Ночное время. Облачность
Сильный Средний Слабый >50% <50%
<2 A A-B B E F
2-3 A-B B C E F
3-5 B B-C C D E
5-6 C C-D D D D
>6 C D D D D


Модель Сеттона[править | править вики-текст]

Первоначально Сеттон получил формулу для наземных источников загрязнений, которая подтвердилась результатами наблюдений в Портоне (Англия) при равновесных условий для сравнительно небольших расстояний (несколько сотен метров). Распределение примеси вблизи точечного источника в разных направлениях описывается гауссовским законом. Концентрация примеси в точке (x,y,z) от источника, расположенного в начале координат, пропорциональна произведению[2]
p_y = \frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2_y})
на аналогичные функции p_z и p_x

  • \sigma^2_y дисперсия распределения примеси в направлении y

\sigma^2_i=\frac{1}{2}c^2_i(\overline{u}t)^{2-n}

  • c_i некоторые коэффициенты
  • \overline{u} средняя по высоте скорость ветра
  • t время после момента действия источника (в случае мгновенного источника), для непрерывного источника полагается, что t=x/\overline{u}
  • i=1,2,3 соответствует x,y,z
  • параметр n можно определить вертикальному профилю скорости ветра, тем самым косвенно учесть условия стратификации

Модель турбулентной диффузии[править | править вики-текст]

Полное уравнение массопереноса в общем виде описывается уравнением турбулентной диффузии
\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}u\cdot C+\frac{\partial}{\partial y}v\cdot C+\frac{\partial}{\partial z}\omega\cdot C=\frac{\partial}{\partial x}D_x\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}D_y\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}D_z\frac{\partial C}{\partial z}

Граничное условие
D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=\beta C

  • C - концентрация загрязняющего вещества [г/м3]
  • D_x, D_y, D_z - коэффициенты турбулентной диффузии [м2/с]
  • u - средняя скорость ветра вдоль оси x, [м/с]
  • v - средняя скорость ветра вдоль оси y, [м/с]
  • \omega - средняя скорость седиментации частиц загрязняющего вещества, [м/с]
  • \beta - постоянная [м/с]. При \beta=0 граничное условие означает, что поток на поверхности равен нулю, все загрязняющее вещество остается в атмосфере "отражаясь" от поверхности земли. При \beta=\infty загрязняющее вещество "прилипает" к поверхности. В промежуточном случае 0<\beta<\infty вещество частично "отражается" частично "прилипает", обычно рассматриваются лишь две крайние возможности - "отражение" или "прилипание".

Аналитическое решение уравнение турбулентной диффузии имеет в частных случаях в предположениях конкретных функций коэффициентов диффузии от координат.

пример решения 3D уравнения турбулентной диффузии
пример решения 3D уравнения турбулентной диффузии

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентов диффузии и однородных граничных условий[править | править вики-текст]

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах турбулентной диффузии D_x, D_y, D_z при действии постоянного точечного источника загрязнения с учетом однородных граничных условий
u\frac{\partial C}{\partial x}=D(\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z})+Q\delta(r)

  • Q\delta - Действие постоянного точечного источника загрязнения, \delta - дельта функция Дирака
  • Q - Мощность точечного источника загрязнения, [г/с]
  • r - Расстояния от источника, [м]
  • D=D_x=D_y=D_z - Коэффициент турбулентной диффузии, [м2/с]

Решение уравнения
C(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi D r}\exp[-\frac{u}{2 D}(r - x)]
Согласно этой модели, зависимость концентрации от расстояния до источника носит гиперболический характер, в то время как по модели Гаусса эта зависимость носит характер экспоненциального закона убывания.

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентов диффузии при краевом условии "отражение"[править | править вики-текст]

Решение уравнения турбулентной диффузии при u=const, и наличие в точке x=0, y=0, z=h, стационарного точечного источника загрязнения и при краевом условии «отражения» на уровне z=0:
D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=0, z=0
C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi x\sqrt{D_y D_z}}\exp[-\frac{u y^2}{4D_x\cdot x}]\{\exp[-\frac{u(z-h)^2}{4D_z\cdot x}]+\exp[-\frac{u(z+h)^2}{4D_z\cdot x}]\}

Решение стационарного уравнения турбулентной диффузии при степенной зависимости вертикального коэффициента турбулентной диффузии[править | править вики-текст]

Математическая постановка задачи
u\frac{\partial C}{\partial x}=D_y\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z}D_z(z)\frac{\partial C}{\partial z}

Граничное условие либо "отражение" либо поглощение.

  • Уравнение записано в пренебрежении диффузии вдоль направления ветра (ось x)
  • D_y = const коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, [м2/с]
  • D_z(z) = D_1(\frac{z}{z_1})^{1-1/p} коэффициент вертикальной турбулентной диффузии м2/с]
  • p параметр термической устойчивости воздуха, p=\infin - безразличная стратификация; p>0 - устойчивая стратификация; p<0 - конвекция

Методика ОНД - 86[править | править вики-текст]

В России и некоторых других странах бывшего СССР для расчета локального загрязнения атмосфера выбросами промышленных предприятий применяется методика ОНД-86, сводящая к последовательности аналитических выражений, полученных в результате аппроксимации разностного решения уравнения турбулентной диффузии. Методика ОНД-86 позволяет рассчитывать максимально возможное распределение концентрации выбросов в условиях умеренно неустойчивого состояния атмосферы и усредненные по 20 минутному интервалу, но не учитывает такие факторы, как класс устойчивости атмосферы и шероховатость подстилающей поверхности.Методика применима для расчёта концентраций примеси на удалении от источника не более 2 км.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 18) Берлянд М. Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязне¬ние атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 448 с.
  2. Берлянд М.Е. "Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы", 1975

На сайте агентства защиты окружающей среды США представлены многочисленные альтернативные модели рассеяния примесей в основной основанных на гауссовых моделях рассеивания.
Альтернативные модели рассеивания примесей
Специальный модуль Flotran программного комплекса ANSYS позволяет решать различные задачи распространения примеси на основе решений системы уравнений Навье - Стокса, уравнения непрерывности, уравнения теплопереноса и уравнения массопереноса.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Materials of IAEA Meeting, 1987, Chapter 3 p. 26.
  • Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part 2: Plume released from a continuous point source. J. Climate Appl. Meteorol. 1986, vol. 25, No 10, pp. 1454-1463
  • Pasquill F. Atmospheric dispersion parameters in gaussian plume modeling: [part II. Possible Requirements for Change in the Turner Workbook Values]. / F. Pasquill // EPA-600/4-76-030b, U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, North Carolina 27711. - 1976.