Модель Бозе — Хаббарда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модель Бозе — Хаббарда даёт примерное описание физики взаимодействия бозонов на пространственной решётке. Она тесно связана с моделью Хаббарда, возникшей в физике твёрдого тела как приближённое описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами твёрдого кристаллического вещества. Слово Бозе указывает на тот факт, что частица в системе — бозон. Впервые модель была введена Х. Гершем (англ. H. Gersch) и Г. Кноллмэном (англ. G. Knollman)[1] в 1963 году, модель Бозе — Хаббарда может использоваться при изучении систем подобных бозонным атомам в оптической решётке (англ.)русск.. В противоположность этому, модель Хаббарда применима к фермионам (электронам), а не бозонам. Кроме того, модель обобщается на сочетания Бозе- и Ферми-частиц, в этом случае, в соответствии с гамильтонианом, модель будет называться моделью Бозе — Ферми — Хаббарда.

Гамильтониан[править | править вики-текст]

Физика этой модели описывается гамильтонианом Бозе — Хаббарда в представлении вторичного квантования:

 \hat{H} = -t \sum_{ \left\langle i, j \right\rangle } \left( b^{\dagger}_i b_j + b^{\dagger}_j b_i \right) + \frac{U}{2} \sum_{i} \hat{n}_i \left( \hat{n}_i - 1 \right) - \mu \sum_i \hat{n}_i,

где индекс i обозначает суммирование по всем узлам решётки трёхмерной решётки, а \left\langle i, j \right\rangle означает суммирование по всем узлам j соседствующим с i. b^{\dagger}_i и b^{}_i — бозонные операторы рождения и уничтожения (англ.)русск.. Оператор \hat{n}_i = b^{\dagger}_i b_i задаёт число частиц в узле i. Параметр t — это матричный элемент перехода, имеющий смысл подвижности бозонов в решётке. Параметр U описывает локальное взаимодействие частиц находящихся в одном узле, если U>0, то он описывает потенциал отталкивания и если U<0, то описывает притяжение, \muхимический потенциал. Данный гамильтониан не рассматривает эффекты, которые малы в термодинамическом пределе, а именно, когда размер системы и число узлов стремятся к бесконечности. В то же время плотность узлов остаётся конечной[1].

Размерность Гильбертова пространства модели Бозе — Хаббарда растёт экспоненциально по отношению к числу частиц N и узлов решётки L. Она определяется по формуле:  D_{b}= \frac{(N_{b}+L-1)!}{N_{b}!(L-1)!} , в то время как в модели Ферми — Хаббарда задаётся формулой:  D_{f}= \frac{L!}{N_{f}!(L-N_{f})!}. Различные результаты следуют из различия статистики для фермионов и бозонов. Для смеси Бозе- и Ферми-частиц, соответствующее Гильбертово пространство в модели Бозе — Ферми — Хаббарда — это прямое тензорное произведение Гильбертовых пространств бозонной модели и фермионной модели.

Фазовая диаграмма[править | править вики-текст]

При нулевой температуре, модель Бозе — Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в состоянии изолятора Мотта (англ.)русск. — состояние с малым t/U, либо в сверхтекучем состоянии — с большим t/U[2]. Изолятор Мотта характеризуется целочисленной плотностью бозонов, наличием запрещённой зоны для возбуждений частица-дырка и нулевой сжижаемостью. При наличии беспорядка, присутствует третья фаза «стекло Бозе». Она характеризуется конечной сжижаемостью, отсутствием запрещённой зоны, бесконечной сверхтекучестью.[3] Это изолирующее состояние, несмотря на наличие ширины запрещённой зоны, из-за того, что низкая вероятность туннелирования предотвращает образование возбуждений, которые хотя и близки по энергиям, но пространственно разделены.

Реализация в оптических решётках[править | править вики-текст]

Ультрахолодные атомы в оптических решётках считаются стандартной реализацией модели Бозе — Хаббарда. Возможность изменения параметров модели при помощи простых экспериментальных методов, отсутствие динамики решётки в электронных системах — всё это обеспечивает очень хорошие условия по экспериментальному изучению этой модели.[4][5]

Гамильтониан в формализме вторичного кватования описывает газ из ультрахолодных атомов в оптической решётке в следующем виде:

 H= \int d^3\vec r \hat\psi^\dagger(\vec r) \left ( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V_{latt.}(x) \right) \hat\psi(\vec r) 
 + \frac{g}{2}\int d^3\vec r\hat \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r)\hat\psi(\vec r) - \mu\int d^3\vec r \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r),

где  V_{latt} — оптический потенциал решётки, g — амплитуда взаимодействия (здесь предполагается контактное взаимодействие), \mu — химический потенциал. Стандартное приближение сильно связанных электронов

\hat\psi(\vec r) = \sum\limits_i w_i^\alpha (\vec r) b_i^\alpha

даёт гамильтонианы Бозе — Хаббарда, если дополнительно допустить, что

 \int w_i^\alpha(\vec r)w_j^\beta(\vec r)w_k^\gamma(r)w_l^\delta(\vec r) d^3\vec r=0

за исключением случаев i=j=k=l , \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Здесь w_i^\alpha(\vec r) — это функция Ванье (англ.)русск. для частицы в потенциале оптической решётки, локализованном вокруг узла i решётки и для \alpha Блоховской зоны.[6]

Тонкие различия и приближения[править | править вики-текст]

Приближение сильно связанных электронов существенно упрощает вторичное квантование гамильтониана, в то же время вводя ряд ограничений:

  • Параметры U и J на самом деле могут зависеть от плотности, как отброшенные члены, они фактически не равны нулю; вместо одного параметра U, энергия взаимодействия частиц n может быть описана следующим: U_n примерно, но не равно U [6]
  • При рассмотрении быстрой динамики решётки, к гамильтониану Бозе — Хаббарда должны быть добавлены дополнительные условия, так что будет исполняться уравнение Шрёдингера. Оно выходит из зависимости функций Ванье от времени.[7]

Экспериментальные результаты[править | править вики-текст]

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе — Хаббарда экспериментально наблюдались группой учёных из Греньера (Greiner) и др.[8] в Германии. Параметры взаимодействия U_n , зависящие от плотности, наблюдались группой Эммануэля Блоха (англ.)русск..[9]

Дальнейшие приложения модели[править | править вики-текст]

Модель Бозе — Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно исследовать запутанность ультрахолодных атомов.[10]

Численное моделирование[править | править вики-текст]

При вычислении низкоэнергетических состояний член, пропорциональный n^2 U , что большое заниание одной стороны маловероятно, позволяя усекать местное гильбертово пространство к состояниям, содержащим не более d <\infty частиц. Тогда локальная размерность гильбертова пространства будет d+1. Размерность полного гильбертового пространства растёт экспоненциально с числом мест в решётке, поэтому компьютерным моделированием огрничиваются системы из 15-20 частиц в 15-20 узлах решётки. Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сторон решётки со средним заполнением выше единицы. Для численной симуляции этой модели, алгоритм точной диагонализации представлен в работе под сноской.[11]

Одномерные решётки могут быть рассмотрены методом группы ренормализации плотности матрицы (англ.)русск. и связанными с этим методиками, такой как алгоритм Time-evolving block decimation (англ.)русск.. Это включает в себя расчёт фонового состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на сторонах решётки и моделирование её динамики, регулирумой уравнение Шрёдингера. Высшие мерности решётки моделировать значительно сложнее при повышении запутанности.[12]

Все мерности могут рассматриваться алгоритмами квантового Монте-Карло (англ.)русск., которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также конкретное фоновое состояние.

Обобщения[править | править вики-текст]

Подобные Бозе — Хаббарда гамильтонианы могут быть получены для:

  • систем с плотность-плотность взаимодействиями  V n_i n_j
  • дальним дипольным взаимодействием [13]
  • внутренней спиновой структурой (спин-1 модели Бозе — Хаббарда) [14]
  • неупорядоченных систем [15]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Gersch H., Knollman G. Quantum Cell Model for Bosons // Physical Review. — 1963. — Vol. 129. — № 2. — P. 959–967. — DOI:10.1103/PhysRev.129.959 исправить
  2. Kühner T., Monien H. Phases of the one-dimensional Bose-Hubbard model // Physical Review B. — 1998. — Vol. 58. — № 22. — P. R14741–R14744. — ISSN 0163-1829. — DOI:10.1103/PhysRevB.58.R14741 исправить
  3. (1989) «Boson localization and the superfluid-insulator transition». Physical Review B 40: 546–70. DOI:10.1103/PhysRevB.40.546. Bibcode1989PhRvB..40..546F.,
  4. Jaksch D., Bruder C., Cirac J., Gardiner C., Zoller P. Cold Bosonic Atoms in Optical Lattices // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 81. — № 15. — P. 3108–3111. — ISSN 0031-9007. — DOI:10.1103/PhysRevLett.81.3108 исправить
  5. Jaksch D., Zoller P. The cold atom Hubbard toolbox // Annals of Physics. — 2005. — Vol. 315. — № 1. — P. 52–79. — DOI:10.1016/j.aop.2004.09.010 исправить
  6. 1 2 Lühmann Dirk-Sören, Jürgensen Ole, Sengstock Klaus Multi-orbital and density-induced tunneling of bosons in optical lattices // New Journal of Physics. — 2012. — Vol. 14. — № 3. — DOI:10.1088/1367-2630/14/3/033021 исправить
  7. Łącki Mateusz, Zakrzewski Jakub Fast Dynamics for Atoms in Optical Lattices // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 110. — № 6. — DOI:10.1103/PhysRevLett.110.065301 исправить
  8. Greiner M., Mandel O., Esslinger T., Hänsch T. W., Bloch I. Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms. (англ.) // Nature. — 2002. — Vol. 415. — № 6867. — P. 39–44. — DOI:10.1038/415039a — PMID 11780110. исправить
  9. Will Sebastian, Best Thorsten, Schneider Ulrich, Hackermüller Lucia, Lühmann Dirk-Sören, Bloch Immanuel Time-resolved observation of coherent multi-body interactions in quantum phase revivals // Nature. — 2010. — Vol. 465. — № 7295. — P. 197-201. — DOI:10.1038/nature09036 исправить
  10. (2007) «Transport and entanglement generation in the Bose–Hubbard model». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 40 (28): 8019–31. DOI:10.1088/1751-8113/40/28/S11. Bibcode2007JPhA...40.8019R.
  11. (2010) «Exact diagonalization: The Bose–Hubbard model as an example». European Journal of Physics 31 (3): 591–602. DOI:10.1088/0143-0807/31/3/016. Bibcode2010EJPh...31..591Z.
  12. Eisert J., Cramer M., Plenio M. B. Colloquium: Area laws for the entanglement entropy // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Vol. 82. — № 1. — P. 277–306. — DOI:10.1103/RevModPhys.82.277 исправить
  13. Góral K., Santos L., Lewenstein M. Quantum Phases of Dipolar Bosons in Optical Lattices // Physical Review Letters. — 2002. — Vol. 88. — № 17. — DOI:10.1103/PhysRevLett.88.170406 исправить
  14. Tsuchiya Shunji, Kurihara Susumu, Kimura Takashi Superfluid–Mott insulator transition of spin-1 bosons in an optical lattice // Physical Review A. — 2004. — Vol. 70. — № 4. — DOI:10.1103/PhysRevA.70.043628 исправить
  15. Gurarie V., Pollet L., Prokof’ev N. V., Svistunov B. V., Troyer M. Phase diagram of the disordered Bose-Hubbard model // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80. — № 21. — DOI:10.1103/PhysRevB.80.214519 исправить