Модель Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Конформно-евклидова модель Пуанкаре́ (иногда эту модель называют диск Пуанкаре) — модель пространства Лобачевского.

Эта модель была предложена Бельтрами, наряду с моделью Клейна и моделью псевдосферы[1] Впоследствии была популяризована Анри Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть модель Пуанкаре конформна)[2] в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

Модели Пуанкаре в круге и в шаре[править | править вики-текст]

Модель Пуанкаре в круге.

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,\;b,\;b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: ds^2=\frac{4}{(1-(x^2+y^2))^2}(dx^2+dy^2), где x и y — оси абсцисс и ординат, соответственно[3].

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве[править | править вики-текст]

В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид: ds^2=\frac{1}{v^2}(du^2+dv^2)[3], где u и v - прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]