Модель пересекающихся поколений

Питер Артур Даймонд

Пол Энтони Самуэльсон

Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию). В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале The American Economic Review, в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений, также известную как модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый как для потребления $C$, так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) $I$. Темпы технологического прогресса $g$, роста населения $n$ и норма выбытия оборудования (капитала) $\delta$ — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время $t$ изменяется дискретно. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам.

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:$S=I$, $Y=C+I$.

Производственная функция $Y(K,L,E)$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам:

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): $Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=(1+g)E_{t-1},g=const$.
2. в производственной функции используются труд $L$ и капитал $K$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: $Y(aK,aLE)=aY(K,LE)$.
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0$.
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: $\lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0$.
5. для производства необходим каждый фактор: $Y(K,0)=Y(0,LE)=0$.

Население $L_{t}$ растёт с постоянным темпом $n$: $L_{t}=(1+n)L_{t-1},n=const$. В каждом периоде $t$ живёт $L_{t}$ молодых и $L_{t-1}$ пожилых индивидов. Совокупное потребление $C$ равно:

$C_{t}=c_{1t}L_{t}+c_{2t}L_{t-1}$,

где $c_{1t}L_{t}$ — потребление работающего поколения, $c_{2t}L_{t-1}$ — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией:

$U_{t}={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {1}{1+\rho }}\times {\frac {c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}$,

где ${\frac {1}{\theta }}$ — эластичность замещения по времени, $\theta >0$, $\theta =const$, ${\rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >-1$, $\rho =const$.

Функция удовлетворяет условиям $u'(c)>0,u''(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0$.

Вначале весь капитал $K_{0}$ находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде:

$S_{t}=s_{t}L_{t}=I_{t}=K_{t+1}$,

где $s_{t}$ — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда $y={\frac {Y}{LE}}$, капитал на единицу эффективного труда $k={\frac {K}{LE}}$.

Задача потребителя

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле:

$c_{1t}+{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=w_{t}E_{t}$.

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

$U_{t}\rightarrow max$

при условии:

$w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0$,

где $w_{t}$ — реальная заработная плата в периоде $t$.

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум.

Нахождение максимума функции Лагранжа

$L={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {c_{2t}^{1-\theta }-1}{(1-\theta )(1+\rho )}}+\lambda {\biggl (}w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{r_{t+1}}}{\biggr )}$.

Условия максимума:

${\begin{cases}{\frac {\partial L}{\partial c_{1t}}}=c_{1t}^{-\theta }-\lambda =0,\\{\frac {\partial L}{\partial c_{2t+1}}}={\frac {c_{2t+1}^{-\theta }}{1+\rho }}-{\frac {\lambda }{1+r_{t+1}}}=0,\\{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0.\end{cases}}$

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений ${\bar {s}}_{t}$ для периода $t$:

${\bar {s}}_{t}={\frac {{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}$.

Задача фирмы

Фирма максимизирует свою прибыль $\pi$. Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией:

$y_{t}=f({\hat {k}}_{t})$, где ${\hat {k}}_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}$.

Задача фирмы выглядит следующим образом:

$\pi =F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max$

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) $w$ и плата за капитал $r$ (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям:

${\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})$,

${\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta =f'({\hat {k}}_{t})$.

Общее экономическое равновесие

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:$K_{t+1}=s_{t}L_{t}$. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем:

${\hat {k}}_{t+1}={\frac {1}{(1+n)(1+g)}}\times {\frac {(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}\times (f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t}))$.

Поскольку ${\hat {k}}_{t+1}$ входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке ($s_{t}'(r_{t})>0$), то это равновесие является единственным.

Если обозначить $s(r_{t+1},w_{t})={\frac {s_{t}}{E_{t}}}$, где $s(r_{t+1},w_{t})$ — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде $t$, то уравнение примет вид:

$(1+n)(1+g){\hat {k}}_{t+1}=s{\bigl (}[f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat {k}}_{1})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})]{\bigr )}$.

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости:

${\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}={\frac {-s'_{w}{\hat {k}}_{t}f''({\hat {k}}_{t})}{(1+n)(1+g)-s'_{r}f''({\hat {k}}_{t+1})}}$.

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая ${\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}$ выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ${\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}$), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения ${\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}$ и ${\hat {k}}_{t+1}={\hat {k}}_{t}$), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая ${\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}$ выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ${\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}$), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми.

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае $\theta =0$, а полезность трат для индивида описывается функцией:

$U=\ln(c_{1t})+{\frac {\ln(c_{2t+1})}{1+\rho }}$.

Выпуск $Y$ описывается следующей функцией:

$Y=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }$.

Тогда, норма сбережений равна: ${\bar {s}}_{t}={\bar {s}}={\frac {1}{2+\rho }}$, а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен: ${\hat {k}}^{*}={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}$.

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью ${\hat {y}}^{*}$ в этом случае составляет:

${\hat {y}}^{*}={\hat {k}}^{*\alpha }={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}$.

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если $f'({\hat {k}}^{*})=n+g+\delta$. Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если:

${\frac {\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }}<n+g+\delta$.

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации ${\hat {k}}_{t+1}$ в зависимости от ${\hat {k}}_{t}$ посредством разложения в ряд Тейлора:

${\hat {k}}_{t+1}\approx {\hat {k}}^{*}+{\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*})$.

Если обозначить производную в точке равновесия $\lambda ={\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}$, то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

${\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})$.

Для рассматриваемого случая, $\lambda =\alpha$, потому:

${\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})=\alpha ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})$.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от $\alpha$ — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые.

Фискальная политика в модели

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая ${\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}$ сдвигается вниз на величину ${\hat {G}}_{t}={\hat {T}}_{t}$ — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки $A$ (устойчивое равновесие) в точку $B$ (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости ${\hat {k}}^{*}:{\hat {k}}_{B}^{*}<{\hat {k}}_{A}^{*}$ и потребления. Появившаяся третья равновесная точка $C$ является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони, а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда $\rho =0$. Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике.

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблением. Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежним.

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом Яари и Оливье Бланшаром. Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости». В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесия.

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — Купманса. Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капитала. К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса, Дж. Де Лонга, П. Ромера. Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первых.

Литература

• Аджемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Бланшар О. Ж., Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Andreoni J. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // Journal of Political Economy. — 1989. — Vol. 97, № 6. — P. 1447—1458. — doi:10.1086/261662.
• Blanchard O. J. Debt, Deficits and Finite Horizons // Journal of Political Economy. — 1985. — Vol. 93, № 2. — P. 223—247. — doi:10.1086/261297.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Diamond P. A. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review. — 1965. — Vol. 55, № 5. — P. 1126—1150.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Samuelson P. A. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // Journal of Political Economy. — 1958. — Vol. 66, № 6. — P. 467—482. — doi:10.1086/258100.
• Samuelson P. A. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // International Economic Review. — 1975. — Vol. 16, № 3. — P. 539—544. — doi:10.2307/2525994.
• Yaari M. E. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Economic Studies. — 1965. — Vol. 32, № 2. — P. 137—150. — doi:10.2307/2296058.