Модуль непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Для любой функции f, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого \omega_f(\delta). Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon(x_1,\;x_2\in E)\and|x_1-x_2|<\delta\},

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из E длиной меньше \delta. Также в литературе встречаются другие обозначения: \omega(f,\;\delta) и (реже) \omega(\delta,\;f).

Свойства модуля непрерывности[править | править вики-текст]

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

  • При любом \delta она неотрицательна.
  • Функция не убывает.
  • Функция полуаддитивна, если E выпукло:
    \omega_f(\delta_1+\delta_2)\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2).
    Докажем:
    \forall x_1, x_2\in E\;(|x_1-x_2|\leqslant\delta_1+\delta_2)\Rightarrow\exists x'\colon(|x'-x_1|\leqslant\delta_1)\and(|x_2-x'|\leqslant\delta_2).
    Тогда:
    |f(x_1)-f(x_2)|=|f(x_1)-f(x')+f(x')-f(x_2)|\leqslant|f(x_1)-f(x')|+|f(x')-f(x_2)|\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2),
    ч. т. д.
  • По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:
    \omega_f(0)\stackrel{\mathrm{def}}{=}0.
  • Если функция f определена на отрезке [a,\;b] и непрерывна на нём, то \lim_{\delta\to 0+}{\omega_f(\delta)}=0, и наоборот. Данный предел обозначается также \omega_f(0+).
Пусть \omega_f(+0)=0, так как функция неотрицательна, то
\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon 0\leqslant\omega_f(\delta)<\varepsilon\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
при любых x_1 и x_2 из [a,\;b] таких, что расстояние между ними меньше \delta. Если мы зафиксируем x_1, а x_2 будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x_1, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x_1, а поскольку вместо x_1 мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a,\;b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора — Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:
\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon\forall x_1,\;x_2\in[a,\;b]\;(|x_1-x_2|<\delta)\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}.
Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,
\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_1)-f(x_2)|\colon(x_1,\;x_2\in[a,\;b])\and|x_1-x_2|<\delta\}.
Но, как мы только что показали
|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2},
а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна \frac{\varepsilon}{2} и уж точно меньше \varepsilon. Но, поскольку \omega_f(\delta) не убывает, при 0<\delta'<\delta получим неравенство:
\omega_f(0)=0\leqslant\omega_f(\delta')\leqslant\omega_f(\delta)<\varepsilon или \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon\delta'\in\stackrel{\circ}{U}{}_\delta^+(0)\Rightarrow\omega_f(\delta')\in U_\varepsilon(0),
что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.
  • Если f(x) непрерывна на [a,\;b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0,\;b-a].
    Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству \omega_f(\delta) непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство:
    0\leqslant\omega_f(\delta+h)-\omega_f(\delta)\leqslant\omega_f(h).
    При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по теореме о двух милиционерах, и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a,\;b]. Теперь, подставив в неравенство \delta_1=\delta-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность \omega_f(\delta) на всём отрезке.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Модули непрерывности высших порядков[править | править вики-текст]

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции f.

\omega_f(\delta)=\sup\{|\Delta^1_h(f,\;x)|\colon(x\in E)\and|h|<\delta\}.

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка n, то получим определение модуля непрерывности порядка n. Обычное обозначение для таких модулей — \omega_n(f,\;\delta).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если k — целое число, то \omega_n(f,\;k\delta)\leqslant k^n\omega_n(f,\;\delta).

Неклассические модули непрерывности[править | править вики-текст]

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

Ссылки[править | править вики-текст]