Абсолютная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Модуль числа»)
Перейти к: навигация, поиск
График вещественной функции
Модуль |z| и другие характеристики комплексного числа z

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: ~|x|.

В случае вещественного x абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0 \end{cases}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа ~z=x+iy, также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}

Основные свойства[править | править вики-текст]

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ~|x_1 - x_2| означает расстояние между точками ~x_1 и ~x_2 и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа[править | править вики-текст]

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Для любых ~a, b \in \mathbb{R} имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных ~a, b имеют место соотношения:

История[править | править вики-текст]

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования[править | править вики-текст]

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение[править | править вики-текст]

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую \|x\|. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]