Модулярная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

Модулярная группа — группа \Gamma всех преобразований Мёбиуса вида

z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},

где a,\;b,\;c,\;d — целые числа, причём ad-bc=1.

Модулярная группа отождествляется с факторгруппой PSL(2,\Z)=SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}. Здесь SL(2,\;\Z) — группа матриц

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},

где a,\;b,\;c,\;d — целые числа, ad-bc=1.

Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\} (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими

S:z\mapsto -1/z,
T:z\mapsto z+1

и соотношениями S^2=(ST)^3=1, то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой S, и циклической группы порядка 3, порождённой ST.

Для произвольного преобразования g(z) = \frac{az+b}{cz+d} из модулярной группы справедливо равенство:

\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)

Поскольку мнимая часть z ненулевая, а числа c и d — целые, не равные нулю одновременно, то величина |cz+d|^2 отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.

Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.

Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из D. Из этого следует, что для того, чтобы две точки z,\;g(z) принадлежали D, их мнимая часть должна быть одинакова: |cz+d|^2=1. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:

  1. g(z)=z,\;z — любая точка;
  2. g(z)=z-1,\;\mathrm{Re}\,z=1/2;
  3. g(z)=z+1,\;\mathrm{Re}\,z=-1/2;
  4. g(z)=-1/z,\;|z|=1.

В частности, все точки области D имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:

  1. \mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};
  2. \mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};
  3. \mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.

Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки D отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой \mathrm{Re}\,z=0.

Чтобы показать, что всякая точка из H конгруэтна некоторой точке из D, рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями S и T, точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит D (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования S можно было бы строго увеличить мнимую часть).

Легко показать также, что преобразования S и T порождают всю модулярную группу. Пусть g — произвольное модулярное преобразование и z — внутренняя точка D. Как описано выше, найдём преобразование g' переводящее g(z) в область D. Точки z и g'g(z) лежат в D, причём z — внутренняя, следовательно, g'g(z)=z. Тогда преобразование g'g лежит в стабилизаторе точки z, который тривиален. Следовательно, g=(g')^{-1} лежит в группе, порождённой преобразованиями S и T.

Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство H/\,\Gamma, отождествляемое с фундаментальной областью G модулярной группы. Фундаментальная область G имеет конечную площадь, то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.