Модулярная функция

Модулярная функция — голоморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть множества $\mathbb{H} = \{x + iy \;| y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}$), является инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяет условия голоморфности в параболических точках. Модулярные формы и модулярные функции широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Примеры

• Одними из самых простых примеров модулярных функций являются ряды Эйзенштейна:

$G_{2k}(z) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

где $z \in \mathbb{H}$.

• Пусть

$g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}$ — модулярные инварианты, $\Delta=g_2^3-27g_3^2$ — модулярный дискриминант.

Определим также:

$j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta}$ — основной модулярный инвариант (j-инвариант).

Выполняются равенства:

$g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau)$

$\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau)$

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть $g_2$ — модулярная форма веса 4, $\Delta$ — модулярная форма веса 12. Соответственно $g_2^3$ — модулярная форма веса 12, а $j(z)$ — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и элиптических кривых.

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4
• Tom M. Apostol Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0
• Robert A. Rankin Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X

Ссылки

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.