Моноидальная категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором

⊗ : C × CC,

который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.

Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.

Определение[править | править вики-текст]

Формально, моноидальная категория — это категория \mathbf C, снабжённая:

  • бифунктором \otimes \colon \mathbf C\times\mathbf C\to\mathbf C, называемым как тензорное произведение или моноидальное произведение,
  • объектом I, называемым единицей или тождественным объектом,
  • тремя естественными изоморфизмами, выражающими тот факт, что операция тензорного произведения
    • ассоциативна: существует естественный изоморфизм (так называемый ассоциатор) \alpha, \alpha_{A,B,C} \colon (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C),
    • I является единицей: существуют два естественных изоморфизма \lambda и \rho, \lambda_A \colon I\otimes A\to A and \rho_A \colon A\otimes I\to A.

На эти естественные изоморфизмы наложены дополнительные условия:

Monoidal-category-pentagon.png

  • для всез A и B в \mathbf C треугольная диаграмма коммутативна:
Monoidal-category-triangle.png

Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из \alpha, \lambda, \rho, единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предемет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что  ( A_N \otimes A_{N-1} ) \otimes \cdots ) \otimes A_2 ) \otimes A_1) и  ( A_N \otimes ( A_{N-1}  \otimes \cdots \otimes ( A_2 \otimes A_1) изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для N=4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.

Строго моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α, λ, ρ — тождественные.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая категория с конечными произведениями моноидальна, с категорным произведением в качестве моноидального произведения и терминальным объектом в качестве единицы. Такую категорию иногда называют декартово моноидальной категорией. Например:
    • \mathbf{Set} — категория множеств с декартовым произведением и одноэлементным множеством в качестве единицы.
  • Любая категория с конечными копроизведениями также вяляется моноидальной с копроизведением и начальным объектом в качестве единицы.
  • R-Mod, категория модулей над коммутативным кольцом R — моноидальна с тензорным произведением R и кольцом R (понимаемым как модуль над самим собой) в качестве единицы.
  • Категория эндофункторов (функторов в себя) в категории C — строгая моноидальная категория с композицией функторов в качестве операции произведения.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  • Kelly, G. Max (1964). «On MacLane’s Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc.» — Journal of Algebra 1, 397—402
  • Kelly G. Max Basic Concepts of Enriched Category Theory. — Cambridge University Press, 1982.
  • Mac Lane, Saunders (1963). «Natural Associativity and Commutativity». — Rice University Studies 49, 28-46.
  • Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.