Моноидальный функтор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C}) и (\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D}) — моноидальные категории. Моноидальный функтор из \mathcal C в \mathcal D состоит из функтора F:\mathcal C\to\mathcal D, естественного преобразования

\phi_{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

и морфизма

\phi:I_{\mathcal D}\to FI_{\mathcal C},

называемых структурными морфизмами, таких что для любых A, B, C в \mathcal C диаграммы

Lax monoidal funct assoc.png


Lax monoidal funct right unit.png    и    Lax monoidal funct left unit.png

коммутативны в категории \mathcal D. Здесь используются стандартные обозначения \alpha, \rho, \lambda для моноидальной структуры категорий \mathcal C и \mathcal D.

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы \phi_{A,B}, \phi обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример[править | править вики-текст]

Забывающий функтор U:(\mathbf{Ab},\otimes_\mathbf{Z},\mathbf{Z}) \rightarrow (\mathbf{Set},\times,\{*\}) из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм \phi_{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B) — это сюрьекция, индуцированная стандартным отображением A\times B\to A\otimes B\to; отображение \phi\colon \{*\}\to\mathbb Z переводит синглетон * в 1.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Kelly, G. Max (1974), «Doctrinal adjunction», Lecture Notes in Mathematics, 420, 257—280