Моноид (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий моноид (M,\mu,\eta) в моноидальной категории (\mathbf{C}, \otimes, I) — это объект M вместе с двумя морфизмами

  • \mu : M\otimes M\to M (называемый умножением),
  • и \eta : I\to M (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

Monoid mult.png

а также диаграмма

Monoid unit.png

коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, \alpha, \lambda и \rho — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории \mathbf{C}^{\mathrm{op}}.

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии \gamma. Тогда моноид M называется симметричным, если

\mu\circ\gamma=\mu.

Примеры[править | править исходный текст]

Категория моноидов[править | править исходный текст]

Пусть (M,\mu,\eta) и (M',\mu',\eta') — два моноида в моноидальной категории C, морфизм f:M\to M' является морфизмом моноидов, если

  • f\circ\mu = \mu'\circ(f\otimes f),
  • f\circ\eta = \eta'.

Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как \mathbf{Mon}_\mathbf{C}.

Литература[править | править исходный текст]

  • Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
  • Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7