Теория категорий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Морфизм»)
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике[3] и в теоретической физике[4][5][уточнить]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6].

Определение[править | править вики-текст]

Категория \mathcal{C} — это:

  • класс объектов Ob_{\mathcal{C}};
  • для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B), причём каждому морфизму соответствуют единственные A и B;
  • для пары морфизмов f\in \mathrm{Hom}(A,B) и g\in \mathrm{Hom}(B,C) определена композиция g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C);
  • для каждого объекта A задан тождественный морфизм id_A\in \mathrm{Hom}(A,A);

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f и
  • тождественный морфизм действует тривиально: f\circ id_A = id_B\circ f = f для f\in \mathrm{Hom}(A,B)
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий[править | править вики-текст]

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы[править | править вики-текст]

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Двойственность[править | править вики-текст]

Для категории \mathcal{C} можно определить двойственную категорию \mathcal{C}^{op}, в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства[править | править вики-текст]

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм[править | править вики-текст]

Морфизм f\in \mathrm{Hom}(A,B) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g \in \mathrm{Hom}(B,A), что g\circ f = id_A и f\circ g = id_B. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов \mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом id_A.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов \mathrm{Aut}(A) по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм[править | править вики-текст]

Мономорфизм — это морфизм f\in \mathrm{Hom}(A,B) такой, что для любых g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A) из f\circ g_1 = f\circ g_2 следует, что g_1=g_2. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X) из g_1\circ f = g_2\circ f следует g_1=g_2.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты[править | править вики-текст]

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество \empty, терминальным — любое множество из одного элемента \{\cdot\}.
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов[править | править вики-текст]

Прямое произведение

Произведение (пары) объектов A и B — это объект A\times B с морфизмами p_1: A\times B\to A и p_2: A\times B \to B такими, что для любого объекта C с морфизмами f_1: C\to A и f_2: C\to B существует единственный морфизм g: C \to A\times B такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы p_1: A\times B\to A и p_2: A\times B \to B называются проекциями.

Двойственно определяется прямая сумма или копроизведение A+B объектов A и B. Соответствующие морфизмы \imath_A: A\to A+B и \imath_B: B \to A+B называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств A\times B, а прямая сумма — дизъюнктное объединение A \sqcup B.
Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение A\otimes B, а прямое произведение — сумма колец A\oplus B.
Пример: В категории VectK (конечные) прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств A\oplus B.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов \prod_{i\in I} A_i. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения \prod_{i\in I} V_i являются произвольные бесконечные последовательности элементов v_i \in V_i, в то время как элементами бесконечного копроизведения \coprod_{i\in I} V_i являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы[править | править вики-текст]

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор \mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D} ставит в соответствие каждому объекту категории \mathcal{C} объект категории \mathcal{D} и каждому морфизму f: A\to B морфизм F(f): F(A)\to F(B) так, что

  • F(id_A) = id_{F(A)} и
  • F(g)\circ F(f) = F(g\circ f).

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из \mathcal{C} в \mathcal{D}^{op} , то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, кадому морфизму f: A\to B он сопоставляет морфизм F(f): F(B)\to F(A), соответственным образом обращается правило композиции: F(g)\circ F(f) = F(f\circ g).

Естественные преобразования[править | править вики-текст]

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные гомоморфизмы» таких конструкций.

Если \mathcal F и \mathcal G — (контравариантные) функторы из \mathcal C в \mathcal D, то естественное преобразование \eta сопоставляет каждому объекту X категории \mathcal C морфизм \eta_X F(X)\to G(X) таким образом, что для любого морфизма f:X\to Y в категории \mathcal C следующая диаграмма коммутативна:

Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что \eta_X — изоморфизм для любого X.

Некоторые типы категорий[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  4. Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
  5. Топосы для физики.  (англ.)
  6. Category theory in Haskell (англ.). Проверено 13 марта 2011. Архивировано из первоисточника 24 августа 2011.
  7. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
  • Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
  • Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
  • Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.