Мультиномиальный коэффициент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении (x_1+x_2+\dots + x_m)^n по мономам x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}:

(x_1+x_2+\dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.

Явная формула[править | править исходный текст]

Значение мультиномиального коэффициента \textstyle \binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} определено для всех целых неотрицательных чисел n и k_1, k_2, \dots, k_m таких, что k_1+k_2+\dots+k_m=n:

\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.

Биномиальный коэффициент \textstyle \binom{n}{k} для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

{n\choose k} = {n\choose k,\ n-k}.

Свойства[править | править исходный текст]

  • \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = m^n.

См. также[править | править исходный текст]