Мультиполь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мультипо́ли (от лат. multum — много и греч. πόλος — полюс) — определённые конфигурации точечных источников (зарядов). Простейшими примерами мультиполя служат точечный заряд — мультиполь нулевого порядка; два противоположных по знаку заряда, равных по абсолютной величине — диполь, или мультиполь 1-го порядка; 4 одинаковых по абсолютной величине заряда, размещённых в вершинах параллелограмма, так что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака (или два одинаковых, но противоположно направленных диполя) — квадруполь, или мультиполь 2-го порядка. Название мультиполь включает обозначение числа зарядов (на греческом языке), образующих мультиполь, например, октуполь (окту — 8) означает, что в состав мультиполя входит 8 зарядов.

Выделение таких конфигураций связано с разложением поля[1] от сложных, ограниченных в пространстве систем источников поля (включая и случай непрерывного распределения источников) по мультиполям - с так называемым 'мультипольным разложением'.

Под полем может иметься в виду электростатическое или магнитостатическое поле, а также аналогичные им поля (например, ньютоновское гравитационное поле)[2].

Такое разложение часто может применяться для приближенного описания поля от сложной системы источников на большом (много большем, чем размер самой этой системы) расстоянии от нее; в этом случае важно то, что поле мультиполя каждого следующего порядка убывает с расстоянием гораздо быстрее предыдущих, поэтому часто можно ограничиться несколькими (в зависимости от расстояния и требуемой точности) членами (низших порядков) мультипольного разложения. В другом случае по разным причинами мультипольное разложение оказывается удобным даже при суммировании всех порядков (тогда оно представляет собой бесконечный ряд); в этом случае оно дает точное выражение поля не только на больших, но в принципе на любых расстояниях от системы источников (за исключением внутренних ее областей.

Кроме статических (или приближенно статических) полей часто в связи с мультипольными моментами говорят о мультипольном излучении - излучении, рассматриваемом как обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы-излучателя. Этот случай отличается тем, что в нем поля разных порядков убывают с расстоянием одинаково быстро, различаясь зависимостью от угла.


Мультипольное разложение скалярного поля[править | править исходный текст]

Система точечных покоящихся зарядов[править | править исходный текст]

Электростатический потенциал системы зарядов в точке \mathbf{R}

\varphi(\mathbf{R}) = \sum\limits_i \frac{q_i}{|\mathbf{R} - \mathbf{r}_i|},

где q_i — заряды, \mathbf{r}_i — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим

\varphi(\mathbf{R}) = \sum\limits_{l = 0}^{\infty} \varphi^{(l)}(\mathbf{R}),

называемое мультипольным разложением, где введено обозначение

\varphi^{(l)}(\mathbf{R}) = \frac{1}{l!} \sum\limits_i q_i r_i^{\alpha_1} \dots r_i^{\alpha_n} \frac{\partial^l}{\partial R_i^{\alpha_1} \dots \partial  R_i^{\alpha_n}} \left( \frac{1}{R} \right)

2^l-польные потенциалы, l называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид

\varphi^{(0)}(\mathbf{R}) = \frac{ \sum\limits_i q_i}{R},

что совпадает с потенциалом точечного заряда Q = \sum\limits_i q_i (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен

\varphi^{(1)}(\mathbf{R}) = \frac{ \left(\sum\limits_i q_i  \mathbf{r}_i\right) \mathbf{n}}{r^2},

где \mathbf{n} = \mathbf{R}/R — единичный вектор, направленный вдоль \mathbf{R}. Если ввести дипольный момент системы зарядов как \mathbf{d} = \sum\limits_i q_i  \mathbf{r}_i, то система \varphi^{(1)}(\mathbf{R}) совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид

\varphi(\mathbf{R}) = \frac{q}{R} + \frac{\mathbf{d} \mathbf{n}}{R^2} + O\left(\frac{1}{R^3}\right).

Если q = 0, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если q \neq 0, то можно выбрать систему координат с центром в точке \mathbf{R}_0 = \mathbf{d}/q, тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид

\varphi^{(2)}(\mathbf{R}) = \frac{D^{\alpha_1 \alpha_2}n_{\alpha_1}n_{\alpha_2}}{2 R^3},

где D^{\alpha_1 \alpha_2} = \sum\limits_i q_i (3 r_i^{\alpha_1}r_i^{\alpha_2} - \delta^{\alpha_1 \alpha_2}\mathbf{r}_i^2 )квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу D квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид

\varphi(\mathbf{R}) = \frac{q}{R} + \frac{\mathbf{d} \mathbf{n}}{R^2} + \frac{\mathbf{n} D \mathbf{n}}{2 R^3} + O\left(\frac{1}{R^4}\right).

Матрица D является бесследовой, то есть \mathrm{tr} D = 0. Кроме того, она является симметричной, то есть D^T = D. Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.

В общем случае вклад l-го порядка в потенциал может быть представлен в виде:

\varphi^{(l)}(\mathbf{R}) = \frac{d^{\alpha_1 \dots \alpha_l}n_{\alpha_1} \dots n_{\alpha_l}}{l! R^l},

где d^{\alpha_1 \dots \alpha_l}2^l-польный момент системы зарядов, представляющий собой неприводимый тензор l-го порядка. Этот тензор симметричен по любой паре индексов и обращается в нуль при сворачивании по любой паре индексов.

Система распределённых зарядов[править | править исходный текст]

Если заряд распределён с некоторой плотностью \rho(\mathbf{r}), то переходя к непрерывному пределу (или непосредственно выводя из исходных формул) в формулах для дискретного распределения можно получить мультипольное разложение и в этом случае:

\varphi(\mathbf{R}) = \int\limits_{(V)} \frac{\rho(\mathbf{r})}{|\mathbf{R} - \mathbf{r}|} d^3 \mathbf{r},

где V — объём, в котором находится распределённый заряд. Тогда мультипольные моменты имеют вид:

q = \int\limits_{(V)} \rho(\mathbf{r}) d^3 \mathbf{r},
\mathbf{d} = \int\limits_{(V)} \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} d^3 \mathbf{r},
D^{\alpha_1 \alpha_2} = \int\limits_{(V)} \rho(\mathbf{r}) (3 r^{\alpha_1}r^{\alpha_2} - \delta^{\alpha_1 \alpha_2}\mathbf{r}^2 )d^3 \mathbf{r}

Формулы для потенциалов мультиполей остаются неизменными. Случай дискретной системы зарядов может быть получен подставкой их плотности распределения, которая может быть выражена через δ-функции:

\rho(\mathbf{r}) = \sum_i q_i \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i).

При вычислении потенциала полезна формула \frac{1}{|R-r|}=\frac{1}{R}\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)(\frac{r}{R})^n, где P_{n}(x) - полиномы Лежандра, x=\cos \theta[3]

Мультипольное разложение напряжённости электростатического поля[править | править исходный текст]

Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком

\mathbf{E}(\mathbf{R}) = - \nabla \varphi(\mathbf{R}).

Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля

\mathbf{E}(\mathbf{R}) = \sum\limits_{l = 0}^{\infty} \mathbf{E}^{(l)}(\mathbf{R}),

где

(\mathbf{E}^{(l)}(\mathbf{R}))_{\alpha_0} = -\frac{1}{l!} \sum\limits_i q_i r_i^{\alpha_1} \dots r_i^{\alpha_n} \frac{\partial^{l+1}}{\partial R_i^{\alpha_0}\partial R_i^{\alpha_1} \dots \partial  R_i^{\alpha_n}} \left( \frac{1}{R} \right)

— электрическое поле 2^l-полья.

В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:

\mathbf{E}^{(0)}(\mathbf{R}) = \frac{Q}{R^2} \mathbf{n},

что соответствует закону Кулона.

Поле точечного диполя:

\mathbf{E}^{(1)}(\mathbf{R}) = \frac{3 (\mathbf{n} \mathbf{d})\mathbf{n} - \mathbf{d}}{R^3}.

Поле точечного квадруполя:

\mathbf{E}^{(2)}(\mathbf{R}) = \frac{5 \mathbf{n} (\mathbf{n}D\mathbf{n}) - 2 D \mathbf{n}}{2 R^4}.

Таким образом, электрическое поле системы покоящихся зарядов во 2-м порядке мультипольного разложения имеет вид:

 \mathbf{E}(\mathbf{R}) =\frac{Q}{R^2} \mathbf{n} + \frac{3 (\mathbf{n} \mathbf{d})\mathbf{n} - \mathbf{d}}{R^3}+ \frac{5 \mathbf{n} (\mathbf{n}D\mathbf{n}) - 2 D \mathbf{n}}{2 R^4} + O\left(\frac{1}{R^5}\right).

Из данной формулы просто получить нормальную (радиальную) компоненту электрического поля

 E_n(\mathbf{R}) =  \mathbf{n} \mathbf{E}(\mathbf{R})  =\frac{Q}{R^2}+ \frac{2 \mathbf{n} \mathbf{d}}{R^3}+ \frac{3 \mathbf{n}D\mathbf{n} }{2 R^4} + O\left(\frac{1}{R^5}\right).

Тангенциальная компонента может быть найдена вычитанием нормальной

 E_{\tau}(\mathbf{R}) = E(\mathbf{R})- \mathbf{n} \mathbf{E}(\mathbf{R})= \frac{(\mathbf{n} \mathbf{d})\mathbf{n} - \mathbf{d}}{R^3}+ \frac{\mathbf{n} (\mathbf{n}D\mathbf{n}) -  D \mathbf{n}}{ R^4}  + O\left(\frac{1}{R^5}\right).

Если нормальная (радиальная) компонента отражает сферически симметричное распределение зарядов, то тангенциальая — несферический вклад в электростатическое поле. Таким образом, квадрупольный момент является интересным для исследования не только, когда суммарный заряд и дипольный момент системы равны нулю, но и в том случае, когда кулоновский вклад ненулевой. Тогда, в соответствии с формулой для тангенциальной компоненты, квадрупольный момент характеризует степень несферичности электрического поля в системе центра заряда. Именно так были измерены электрические квадрупольные моменты у атомных ядер и был сделан вывод об отсутствии у них сферической симметрии.

Мультипольное разложение статического магнитного поля[править | править исходный текст]

Векторный потенциал зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид:

\mathbf{A}(\mathbf{R}) = \frac{1}{c} \sum\limits_i \frac{q_i \mathbf{v}_i}{|\mathbf{R} - \mathbf{r}_i|}

Он аналогичным образом раскладывается в мультипольное разложение:

\mathbf{A}(\mathbf{R}) =\sum\limits_{l = 1}^{\infty} \mathbf{A}^{(l)}(\mathbf{R}).

Ряд начинается с l = 1, так как магнитных зарядов не существует (магнитные заряды в физике фундаментальных взаимодействий не обнаружены, хотя они и могут быть использованы, как модель для описания явлений в физике твёрдого тела). Этот член соответствует магнитному диполю (точечному круговому контуру с током):

\mathbf{A}^{(1)}(\mathbf{R}) = \frac{[\mathbf{m}, \mathbf{R}]}{R^3},

где \mathbf{m}магнитный момент системы токов (движущихся зарядов):

\mathbf{m} = \frac{1}{2 c} \sum\limits_i q_i [\mathbf{r}_i,\mathbf{v}_i]

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Конечно же, представлено поле может быть как потенциалом, так и напряженностью.
  2. Для полей, как гравитационное, не имеющих отрицательных зарядов, мультипольное разложение содержит только четные порядки. При этом отрицательные заряды в мультиполях четных порядков (например, в квадруполе) рассматриваются в этом случае чисто формально.
  3. Ли Цзун-дао Математические методы в физике. - М.: Мир, 1965. - стр.146

См. также[править | править исходный текст]