Мягкое множество

Мягкое множество — параметризированное классом принадлежности семейство элементов универсума в теории нечётких множеств.

Определение

Под мягким множеством $A\$ понимается множество пар:

$A=\{(x,M_{A}(x))|x\in X\}$,

где $X\$ — универсальное множество, а $M_{A}(x)\$ — множество принадлежности элемента $x\$ мягкому множеству $A\$ (множество нечёткости элемента $x\$ в мягком множестве $A\$). Множество $M_{A}(x)\$ характеризует степень принадлежности элемента $x\$ мягкому множеству $A\$ [2].

Множество $M_{A}(x)\$ является подмножеством некоторого вполне упорядоченного множества или даже решётки $M\$^{[уточнить]}. Множество $M\$ называют множеством принадлежностей, обычно в качестве $M\$ выбирается отрезок $[0,1]\$. Если множество принадлежности элемента $M_{A}(x)\$ одноэлементное $\forall x\in X\$, то мягкое множество может рассматриваться как нечёткое множество.

Мягкое множество также называют $P$-нечётким множеством или нечётким множеством 2-го порядка [5]. Нечёткое множество 2-го порядка — это мягкое множество, у которого $M_{A}(x)\$ — это нечёткое множество.

Литература

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближённых решений. М.: Мир, 1976.

2. Мациевский С. В. Множества, мультимножества, нечёткие и мягкие множества без универсума // Вестник РГУ им. И. Канта, 2007, вып. 10, с. 44—52.

3. Могиленко А. В., Балуев А. В. Элементарные понятия теории нечётких множеств. Новосибирск, 2003.

4. Молодцов Д. А. Теория мягких множеств. М.: Едиториал УРСС, 2004.

5. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.