Наблюдатель (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Система

\dot q(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t) (1)
z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)\! (2)

является наблюдателем для системы

\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t) (3),
y(t)=Cx(t)\! (4),

если для каждого начального состояния x(t_0)\! системы (3)-(4) существует начальное состояние q_0\! для системы (1)-(2), такое, что равенство q(t_0)=q_0\! приводит к z(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0.

Здесь A, B, C, F, G, H, K, L, M\! — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность q(t)\! равна размерности x(t)\! и выполнение условия q(t_0)=x(t_0)\! дает q(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. n\!-мерный вектор x(t)\!, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени t\!. r\!-мерный вектор u(t)\! описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

l\!-мерный вектор y(t)\! представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно l<n\!. y(t)\! называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда F(t)=A(t)-K(t)C(t)\!, G(t)=K(t)\!, H(t)=B(t)\!, где K(t)\! является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)] (5).

Матрица K(t)\! называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

\dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t),

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

A(t)-K(t)C(t)\!.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления K\!, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы A-KC\!, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

e(t)=x(t)-q(t)\!

удовлетворяет дифференциальному уравнению

\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t).

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

e(t) \to 0 при t \to 0

для всех e(t_0)\! тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления K\!, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной y(t)\!.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]