Надстройка (топология)

У этого термина существуют и другие значения, см. Надстройка.

В топологии, надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство SX, являющееся фактором произведения $X\times [0,1]$ по отношению эквивалентности $(x,0)\sim (x',0), \quad (x,1)\sim (x',1)$ :

$SX = (X \times [0,1])/\{\forall x_1,x_2 \in X \quad (x_1,0)\sim(x_2,0), \quad (x_1,1)\sim(x_2,1)\}$

Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, настройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Свойства [править]

Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну $X\star S^0$ пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») $S^0$ .
Любое непрерывное отображение $f:X\to Y$ продолжается до отображения $Sf: SX\to SY$ по правилу $Sf(x,t)=(f(x),t)$ .
Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: $\overline{H}_k(SX)=\overline{H}_{k-1}(X)$ для всех k.