Наибольшая общая подстрока

Наибольшая общая подстрока (англ. longest common substring) — подстрока двух или более строк, имеющая максимальную длину.

Формально, наибольшей общей подстрокой строк $s_{1},s_{2},\ldots s_{n}$ называется строка $\left.w^{*}\right.$, которая удовлетворяет условию $\|w^{*}\|=\max(\{\|w\||w\sqsubseteq s_{i},i=1,\ldots n\})$, операция $w\sqsubseteq s_{i}$ обозначает что строка $\left.w\right.$ является (возможно несобственной) подстрокой строки $\left.s_{i}\right.$.

Решение задачи поиска наибольшей общей подстроки для двух строк $\left.s_{1}\right.$ и $\left.s_{2}\right.$, длины которых $\left.m\right.$ и $\left.n\right.$ соответственно, заключается в заполнении таблицы $\left.A_{ij}\right.$ размером $(m+1)\times (n+1)$ по следующему правилу, принимая, что символы в строке нумеруются от единицы.

$\left\{{\begin{array}{rclr}A_{0j}&=&0,&j=0\ldots n,\\A_{i0}&=&0,&i=0\ldots m,\\A_{ij}&=&0,&s_{1}[i]\neq s_{2}[j],i\neq 0,j\neq 0,\\A_{ij}&=&A_{i-1j-1}+1,&s_{1}[i]=s_{2}[j],i\neq 0,j\neq 0.\end{array}}\right.$

Максимальное число $\left.A_{uv}\right.$ в таблице это и есть длина наибольшей общей подстроки, сама подстрока:

$s_{1}[u-A_{uv}+1]\ldots s_{1}[u]$ и $s_{2}[v-A_{uv}+1]\ldots s_{2}[v]$.

В таблице заполнены значения для строк SUBSEQUENCE и SUBEUENCS:

   SUBSEQUENCE
  000000000000
S 010010000000
U 002000010000
B 000300000000
E 000001001001
U 001000010000
E 000001002001
N 000000000300
C 000000000040
S 010010000000

Получаем наибольшую общую подстроку UENC.

Сложность такого алгоритма составляет O(mn).

См. также

• Суффиксное дерево
• Алгоритмы на строках
• Наибольшая общая подпоследовательность