Наивная теория множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Георг Кантор в 1870 году
Схема доказательства счётности множества рациональных чисел
Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — Бернштейна

Наи́вная тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному[1], и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)[2]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно[en] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса[3][4]). В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между \mathbb R и \mathbb R^n (для любого n>0). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств[5][6].

В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:

(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C)),
(A-B)+(A+C) = A - (B + (A-C)),

в последующих своих работах многократно используя этот результат[7]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[de], Томе[de], Нетто[de]) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей[8] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон[se], Гарнак[de], в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций[9]. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также строит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)[10], а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»[11] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна[12], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций[13]. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств[14][15].

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии[16]. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом[17].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Медведев, 1965, с. 86—87
  2. Бурбаки, 1963
  3. Медведев, 1965, с. 94—95
  4. Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21
  5. Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141
  6. Бурбаки, 1963
  7. Медведев, 1965, с. 103—105
  8. Медведев, 1965, с. 107—110
  9. Медведев, 1965, с. 113—117
  10. Медведев, 1965, с. 126—131
  11. Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p.
  12. Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном (нем. Felix Bernstein) в 1897 году
  13. Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157
  14. Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245
  15. Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178
  16. Медведев, 1965, с. 133—137
  17. Бурбаки, 1964, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49

Литература[править | править вики-текст]