Накрытие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример накрытия: накрытие R\to S^1 окружности S^1 спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел R.

Накрытие — это непрерывное сюръективное отображение p:X\to Y линейно связного пространства X на линейно связное пространство Y, такое, что у любой точки y \in Y найдется окрестность U\subset Y, полный прообраз которой p^{-1}(U)\, представляет собой объединение непересекающихся областей V_k\subset X:

p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots,

причем на каждой области V_k отображение p:\,V_k\to U является гомеоморфизмом между V_k и U.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Отображение p:X\to Y линейно связного пространства X на линейно связное пространство Y называется накрытием, если у любой точки y\in Y имеется окрестность U\subset Y, для которой существует гомеоморфизм h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma, где \Gammaдискретное пространство, такое что если \pi:U\times \Gamma\to U обозначает естественную проекцию, то

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Пространство Y называется базой накрытия, а Xпространством накрытия (или накрывающим пространством).
  • Прообраз p^{-1}(y) точки y \in Y называют слоем над точкой y.
  • Число областей Vk в полном прообразе p^{-1}(U) называется числом листов.
    • Если это число конечно и равно n, то накрытие называется n-листным.
  • Накрытие называется универсальным если накрывающее пространство односвязно.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Пусть S^1 обозначает единичную окружность комплексной плоскости S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}.
    • p: {\mathbb R}\to S^1,   p:x\mapsto e^{2\pi i x}.
    • p:S^1\to S^1,   p:z\mapsto z^k, где k\neq 0, k \in {\mathbb Z}.

Свойства[править | править исходный текст]

Связь с фундаментальной группой[править | править исходный текст]

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности X и Y и также локальной односвязности Y. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами \pi_1(X,x_0) и \pi_1(Y, y_0): если p(x_0)=y_0, то индуцированный гомоморфизм p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0), отображает \pi_1(X,x_0) изоморфно на подгруппу в \pi_1(Y, y_0) и, меняя точку x_0 в p^{-1}(y_0), можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряженных подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы H (т. е. Hнормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы G=\pi_1(Y, y_0)/H на X, причем p оказывается факторотображением на пространство орбит Y. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле q:[0,1] \to Y, q(0)=q(1)=y_0, сопоставить единственный путь \tilde q: [0,1]\to X, для которого q(0) = x_0 и p\tilde q=q, то точка \tilde q(1) будет зависеть только от класса этой петли в G и от точки x_0. Таким образом, элементу из G отвечает перестановка точек в p^{-1}(y_0). Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки y_0. Это определяет гомеоморфизм X комутирующий с p.

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в p^{-1}(y_0), то есть имеется действие \pi_1(Y, y_0) на p^{-1}(y_0), называемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого G=\pi_1(Y, y_0) или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе H\subset \pi_1(Y, y_0) однозначно строится накрытие p:X\to Y, для которого образ \pi_1(X, x_0) есть H.

Для любого отображения f линейно связного пространства (Z, z_0) в (Y, y_0) поднятие его до отображения \tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0) существует тогда и только тогда, когда образ f(\pi_1(Z, z_0)) лежит в H. Между накрытиями Y имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в \pi_1(Y, y_0). В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Топологическое пространство, не имеющее универсального накрытия

Литература[править | править исходный текст]

  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
  • В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович, Наглядная топология выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.

См. также[править | править исходный текст]