Начальный и терминальный объекты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий начальный (отталкивающий) объект категории C — это её объект I, такой что для любого объекта X в C существует единственный морфизм IX.

Двойственное определение — терминальный (притягивающий) объект: T — терминальный, если для любого объекта X в C существует единственный морфизм XT.

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Примеры[править | править вики-текст]

  • пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет.
  • В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.
  • В категории групп, так же как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект, благодаря этому и появился термин нулевой объект.
  • В категории колец кольцо целых чисел Z является начальным объектом, и нулевое кольцо с 0=1 — терминальным объектом.
  • В категории полей не существует начальных и терманальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики p имеется начальный объект — поле из p элементов.
  • В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория 1 с единственным объектом и морфизмом.
  • Любое топологическое пространство X можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими что U ⊂ V, существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, X — терминальный.
  • Если X — категория топологического пространства, описанная выше, и C — некоторая малая категория, то все контравариантные функторы из X в C с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на X с коэффициентами в C. Если C имеет начальный объект c, то постоянный функтор, отображающий X в c, является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.
  • В категории схем спектр Spec(Z) — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Существование и единственность: начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно. А именно, если I1 and I2 — начальный объекты, между ними существует изоморфизм, причем единственный.
  • Связь с пределами: терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы ∅ → C, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы/копределы сохраняет терминальные/начальные объекты соответственно.

Связь с универсальными стрелками[править | править вики-текст]

Начальные и терминальные объекты также можно характиризовать при помощи универсальных стрелок и сопряженных функторов. Рассмотрим 1 — категорию с единственным объектом (обозначаемым •), и U : C1 — единственный функтор в 1. Тогда

  • Начальный объект I категории C — это универсальная стрелка из • в U. Функтор, отправляющий • в I — левый сопряженный для U.
  • Терминальный объект T категории C — это универсальная стрелка из U в •. Функтор, отправляющий • в I — правый сопряженный для U.

Обратно, универсальная стрелка из X в функтор U может быть определена как начальный объект в категории запятой (XU). Двойственно, универсальный морфизм из U в X — терминальный объект (UX).

Литература[править | править вики-текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Paolo Aluffi Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3.