Невязка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Невязка — это ошибка (погрешность) в результате вычислений. Пусть мы хотим найти такое x, что значение функции:

f(x)=b.\,

Подставляя приближенное значение x0 вместо x, получаем невязку

b - f(x_0)\,

а ошибка в этом случае равна

x_0 - x.\,

Если мы не знаем точного значения x, мы не можем вычислить ошибку, но мы можем вычислить невязку.

Невязка аппроксимации функции[править | править исходный текст]

Схожее название используется в дифференциальных, интегральных и функциональных уравнениях.

Для аппроксимации ~f_{\rm a}~ решения ~f~ уравнения

 T(f)(x)=g(x) ,

невязка может быть функцией

~g(x)~ - ~T(f_{\rm a})(x)

или по-другому максимумом нормы разности

\max_{x\in \mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)| на области \mathcal X, где функция

~f_{\rm a}~ есть усреднённое решение ~f~, или некоторый интеграл функции разности, например,

~\int_{\mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)|^2~{\rm d} x.

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

~\left|\frac{f_{\rm a}(x) - f(x)}{f(x)}\right| \ll  1.~

В этом случае начальное уравнение принималось за корректное; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

Использование невязок[править | править исходный текст]

Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в итерационных методах, таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.