Неподвижная точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Отображение с тремя неподвижными точками

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения f(x)=x.

К примеру, отображение f(x)=x^2-3x+3 имеет неподвижные точки x=1 и x=3, поскольку f(1)=1 и f(3)=3.

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение f(x)=x+1 вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

f(f(\dots f(x)\dots))=x,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки[править | править вики-текст]

Шаги метода простой итерации xn+1 = cos xn с начальным значением x1 = -1

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут к x стремиться:

f(f(\underbrace{\dots f(y)\dots}_{n\, \text{times}}))\rightarrow x, \quad n\rightarrow\infty.

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: |f'(x)|<1.

Метод Ньютона[править | править вики-текст]

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения

 f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]