Непрерывная дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь[править | править вики-текст]

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], где

a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
\dots
a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
\dots

где \lfloor x \rfloor обозначает целую часть числа x.

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x_n для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для иррационального x все величины x_n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots].

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Подходящие дроби[править | править вики-текст]

n-ой подходящей дробью для цепной дроби x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], называется конечная цепная дробь [a_0; a_1, \cdots, a_n], значение которой равно некоторому рациональному числу \frac{p_n}{q_n}. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};
q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.

Таким образом, величины p_n и q_n представляются значениями континуант:

p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)
q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)

Последовательности \left\{p_n\right\} и \left\{q_n\right\} являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1}, ((1))

которое можно переписать в виде

\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.

Откуда следует, что

\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.

Приближение вещественных чисел рациональными[править | править вики-текст]

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.

Отсюда, в частности, следует:

  • подходящая дробь \frac{p_n}{q_n} является наилучшим приближением для x среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит q_n;
  • мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Разложим число \pi=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
    3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
Вторая подходящая дробь 22/7 — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355/113 была впервые получена в Древнем Китае.
  • В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для \textstyle\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585. Третья подходящая дробь 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[1].

Свойства и примеры[править | править вики-текст]

  • Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
  • Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Например:
\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
золотое сечение \phi = [1;1,1,1,\dots]
  • Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для \sqrt[3]{2} неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
  • Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots]
для числа
\operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]
  • У числа пи простой закономерности не видно:[2]
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]
  • Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
  • Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n, то говорят, что число x относится к классу F(n). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F(4) и в виде произведения двух чисел из класса F(4).[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы трёх чисел из класса F(3) и в виде суммы четырёх чисел из класса F(2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.[4][5]

Приложения цепных дробей[править | править вики-текст]

Теория календаря[править | править вики-текст]

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Решение сравнений первой степени[править | править вики-текст]

Рассмотрим сравнение: ax \equiv b \pmod m, где a,\ b известны, причём можно считать, что a взаимно просто с m. Надо найти x.

Разложим \frac{m}{a} в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь \frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}. Подставим в формулу (1):

m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}

Отсюда вытекает:

a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m,  или:  \ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m

Вывод: класс вычетов x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m  является решением исходного сравнения.

Другие приложения[править | править вики-текст]

Свойства золотого сечения[править | править вики-текст]

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Теорема Гурвица[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что

\left| k - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно {\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}} от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c и d являются целыми числами, причём ad − bc = ±1, обладают тем же свойством, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Историческая справка[править | править вики-текст]

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение \sqrt{3} \approx \frac {1351}{780} — это 12-я подходящая дробь для \sqrt{3} или \frac {1}{3} от 4-й подходящей дроби для \sqrt{27}.

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа \pi (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
  2. последовательность A001203 в OEIS
  3. M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
  4. B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
  5. T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
  6. Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
  7. Hardy G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers. — Fifth. — Oxford, 1979.