Непрерывное вейвлет-преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию x(t), определенную на временно́й оси переменной t, в функцию

\gamma(\tau, s) =
  \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{s}} \psi^{*} \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt

двух переменных \tau и s. Здесь \tau представляет параллельный перенос, s представляет масштаб и \psi(t) — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

x(t) =
  \frac{1}{C_\psi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
    \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \gamma(\tau, s)
      \frac{1}{\sqrt{|s|}} \psi\left( \frac{t - \tau}{s} \right) d\tau \frac{ds}{|s|^2}

где

C_\psi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
  \frac{\left| \Psi(\zeta) \right|^2}{\left| \zeta \right|} d\zeta

называется постоянной допустимости и \Psi — преобразование Фурье от \psi. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

C_\psi < +\infty.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что \Psi(0) = 0, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

\psi_{s,\tau}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t-\tau}{s} \right) .

См. также[править | править исходный текст]