Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию $x(t)$, определенную на временно́й оси переменной $t$, в функцию

$\gamma(\tau, s) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{s}} \psi^{*} \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt$

двух переменных $\tau$ и $s$. Здесь $\tau$ представляет параллельный перенос, $s$ представляет масштаб и $\psi(t)$ — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

$x(t) = \frac{1}{C_\psi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \gamma(\tau, s) \frac{1}{\sqrt{|s|}} \psi\left( \frac{t - \tau}{s} \right) d\tau \frac{ds}{|s|^2}$

где

$C_\psi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\left| \Psi(\zeta) \right|^2}{\left| \zeta \right|} d\zeta$

называется постоянной допустимости и $\Psi$ — преобразование Фурье от $\psi$. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

$C_\psi < +\infty$.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что $\Psi(0) = 0$, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

$\psi_{s,\tau}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t-\tau}{s} \right)$.

См. также

• Дискретное вейвлет-преобразование