Непрерывное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Непрерывность»)
Перейти к: навигация, поиск

Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т. д.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Определения[править | править вики-текст]

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Непрерывность в топологических пространствах[править | править вики-текст]

Отображение f\colon X \to Y топологического пространства (X,\mathcal{T}_X) в топологическое пространство (Y,\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.

Непрерывность на подпространстве[править | править вики-текст]

Если рассмотреть некоторое подмножество A множества X, то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология \mathcal{T}_A, которую составляют всевозможные пересечения множества A с множествами, входящими в топологию \mathcal{T}_X.

Отображение f\colon X \to Y, непрерывное на множестве X, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке[править | править вики-текст]

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение f\colon X \to Y называется непрерывным в точке x, если для любой окрестности V точки f(x) найдется такая окрестность U точки x, что f(U) \subset V.

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.[1]

  • В случае, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н. секвенциальной непрерывности: если \lim_{n \to \infty} x_n=x , то \lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

  • прообраз всякого открытого множества открыт;
  • прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
  • прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
  • образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
  • замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах[править | править вики-текст]

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение f\colon X \to Y метрического пространства (X,\rho_X) в метрическое пространство (Y,\rho_Y) называется непрерывным в точке a, если для всякого \varepsilon > 0 существует \delta > 0, что для всякого x\in X, такого, что \rho_X(x,a) < \delta, выполняется неравенство: \rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon.

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, f\colon {N_1}\to {N_2} отображение между нормированными пространствами с нормами \|{*}\|_1 и \|{*}\|_2 соответственно. Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа \varepsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для всех точек x \in N_1, таких что \|x-a\|_1< \delta выполнено неравенство \|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)[править | править вики-текст]

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала f:X \rightarrow \mathbb{R} (или \mathbb{C}.), где X - произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал f, называется непрерывным в точке a \in X, если для любого \varepsilon > 0 найдется окрестность \Sigma_a этой точки, такая, что \forall x \in \Sigma_a выполнено условие |f(x)-f(a)| < \varepsilon.

Множество непрерывных на X функционалов (функций) принято обозначать C(X). Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция[править | править вики-текст]

Пусть, f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}. (или \mathbb{C}.). Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа \varepsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для всех точек x\in E условие |x-a|< \delta влечет |f(x)-f(a)| < \varepsilon.

Другими словами, функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция f класса C^0 и пишут: f\in C^0(E) или, подробнее, f\in C^0(E, \mathbb{R}).

Свойства непрерывных отображений[править | править вики-текст]

  • Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
  • Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

Связанные определения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Математические Этюды Мультик про непрерывность

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется локально, в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.

Литература[править | править вики-текст]

Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.