Неравенство Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Берну́лли утверждает: если x \geq -1, то

(1+x)^n\geq 1 + nx для всех n\in\mathbb{N}_0.

Доказательство[править | править исходный текст]

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли[править | править исходный текст]

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при x > - 1 \!\ и n\in\mathbb{R}:

  • если  n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty ), то (1+x)^n\geq 1 + nx
  • если  n\in(0;1) \!\ , то (1+x)^n\leq 1+nx
  • при этом равенство достигается в двух случаях: \left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.

Примечания[править | править исходный текст]

  • Неравенство также справедливо для x\geq -2 (при n\in\mathbb{N}_0), но указанное выше доказательство по индукции в случае x\in\left[-2,-1\right) не работает.