Неравенство Бесселя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента x в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Пусть H — гильбертово пространство, и e_1, e_2, ... — ортонормированная последовательность элементов H. Тогда для произвольного x \in H выполняется неравенство:

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

где <∙,∙> обозначает скалярное произведение в пространстве H. Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,

которое выполняется для произвольного n \geq 1.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]