Неравенство Гёльдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств L^p.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — пространство с мерой, а L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) — пространство функций вида f:X \to \mathbb{R} с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p},

где p \ge 1 , обычно подразумевается, что это натуральное число.


Пусть f \in L^p, а g \in L^q, где p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1. Тогда f \cdot g \in L^1, и

\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Доказательство[править | править вики-текст]

Докажем следующую формулировку неравенства Гёльдера(она равносильна вышенаписанной):
\,\!X — пространство с мерой \,\!\mu, E \subset X, \,\!E измеримо

  f \in L^{p}, g \in L^{q}, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1
\Rightarrow
  \int\limits_E |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
  \left|\int\limits_E fg \, d\mu \right|
\leq
  \left(\int\limits_E |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
  \left(\int\limits_E |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}

Доказательство:
Воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):

  a, b \geq 0, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1
\Rightarrow
  a^{1/p} b^{1/q}
\leq
  \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}

Положим

  a = \dfrac{|f(x)|^{p}}{\int\limits_E |f|^{p} d\mu}
\quad
  b = \dfrac{|g(x)|^{q}}{\int\limits_E |g|^{q} d\mu}
\quad
  I_1 = \int\limits_E |f|^{p} d\mu > 0
\quad
  I_2 = \int\limits_E |g|^{q} d\mu > 0

Применяя неравенство, получаем:

  |f(x) g(x)|
\leq
  I_1^{1/p} I_2^{1/q}
  \left(
    \dfrac{|f(x)|^{p}}{p \cdot I_1} + \dfrac{|g(x)|^{q}}{q \cdot I_2}
  \right)

Так как правая часть неравенства суммируема по множеству \,\!E (отсюда вытекает и суммируемость левой части), и модуль интеграла не превосходит интеграла модуля, можем проинтегрировать неравенство по \,\!E и записать:

  \left|\int\limits_E f g \, d\mu\right|
\leq
  \int\limits_E |f g| \, d\mu
\leq
  I_1^{1/p} I_2^{1/q}
  \left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right)
=
  I_1^{1/p} I_2^{1/q}
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если \,\!I_1 или \,\!I_2 равен 0, то это значит, что \,\!f или \,\!g эквивалентны нулю на \,\!E, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Неравенство Коши — Буняковского[править | править вики-текст]

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L^2.

Евклидово пространство[править | править вики-текст]

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

 \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E.

Пространство lp[править | править вики-текст]

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m — счётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что:

\|x\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется l^p. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.

Вероятностное пространство[править | править вики-текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1
  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.