Неравенство Клаузиуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Клаузиуса (1854): Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено (приведённое количество теплоты), неположительно.

 \circ \sum\limits_{i = 1}^N {{{Q_i } \over {T_i }}}  \le 0

Подведённое количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) - для квазистатических процессов неравенство Клаузиуса обращается в равенство[1].

 \circ \sum\limits_{i = 1}^N  \left( {{{Q_i } \over {T_i }}} \right)_{QuazistaticProcess} = 0

Вывод[править | править вики-текст]

Частный случай: два тепловых резервуара[править | править вики-текст]

Пусть система I сообщается с тепловыми резервуарами R_1 и R_2 температур T_1 и T_2 соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй теореме Карно КПД цикла Карно — максимальный; для системы I выполняется 1 + {{Q_2 } \over {Q_1 }} \le 1 - {{T_2 } \over {T_1 }}. Отсюда следует частный случай[2] неравенства Клаузиуса:

{{Q_1 } \over {T_1 }} + {{Q_2 } \over {T_2 }} \le 0

(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)

Общий случай: много тепловых резервуаров[править | править вики-текст]

ClausiusInequityProof.png

Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур T_i и получающую от них тепло Q_i. Вводится дополнительный Резервуар температуры T_0. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.

По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется

{{Q_{0i} } \over {T_0 }} + {{Q'_i } \over {T_i }} = 0 \Rightarrow Q_0  = \sum\limits_{i = 1}^n {Q_i }  =  - T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q'_i } \over {T_i }}} .

Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A: Q'_i  =  - Q_i . Тогда Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} . Это тепло отдаст резурвуар температуры T_0 , в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} резурвуаром температуры T_0 системе A, причём совокупность «система A — резервуар T_0» теплоизолирована. Следовательно, по первому началу термодинамики системой A совершена работа Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} . В соответствии с формулировкой Томсона второго начала термодинамики эта работа не может быть положительной. Отсюда очевидно неравенство Клаузиуса в общем виде:

\sum\limits_i^{} {{{Q_i } \over {T_i }}}  \le 0

Следствия[править | править вики-текст]

Неравенство Клаузиуса позволяет ввести понятие энтропии[3].

Энтропия системы — функция её состояния, определённая с точностью до произвольной постоянной. Разность энтропий в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.

{S_{\rm{2}}  - S_{\rm{1}}  = \int\limits_{{\rm{1}} \to {\rm{2}}} {{{\partial Q} \over T}} }

Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики

Закон возрастания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
  3. Кириченко Н.А. 1.3.8. Неравенство Клаузиуса // Термодинамика, статистическая и молекулярная физика. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — С. 28-29. — 176 с. — ISBN 5-89155-130-6.