Неравенство Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Неравенство названо в честь советского математика Андрея Колмогорова.

Формулировка неравенства[править | править вики-текст]

Пусть X_1, \dots, X_n\ :\Omega\to R — независимые случайные величины, определённые на общем вероятностном пространстве (\Omega,\ F,\  Pr), с математическим ожиданием E[X_k]=0 и дисперсиями Var[X_k]<+\infty, \ \ \forall k=1, \dots, n. Тогда, для каждого \lambda>0,

\Pr \left(\max_{1\leq k\leq n} | S_k |\geq\lambda\right)\leq \frac{1}{\lambda^2} \operatorname{Var} [S_n] \equiv \frac{1}{\lambda^2}\sum_{k=1}^n \operatorname{Var}[X_k],

гдe S_k=X_1+\dots+X_k.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Billingsley Patrick Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
  • Feller William An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.

Эта статья включает в себя материал из статьи Kolmogorov's inequality, размещённой на сайте PlanetMath, которая подпадает под действие лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License.