Неравенство Коши — Буняковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением \langle x,\;y\rangle. Пусть \|x\| — норма, порождённая скалярным произведением, то есть \|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L. Тогда для любых x,\;y\in L имеем:

|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии[править | править исходный текст]

В конечномерном случае можно заметить, что \|x\|^2\|y\|^2-\langle x,\;y\rangle^2=S(x,\;y)^2, где S(x,\;y) — площадь параллелограмма, натянутого на векторы x и y.

В общем случае:

\|x\|^2-\frac{\langle x,\;y\rangle^2}{\|y\|^2}=\left\|x-\frac{\langle x,\;y\rangle}{\|y\|^2}y\right\|^2.

Примеры[править | править исходный текст]

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

где \bar{y}_k обозначает комплексное сопряжение y_k.

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).
где \mathrm{cov} обозначает ковариацию, а \mathrm{D} — дисперсию.

Доказательство[править | править исходный текст]

  • Если \langle x,y \rangle \in \R , то  \forall \lambda \in \R верно следующее
0\leqslant\langle\lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle.

Значит дискриминант многочлена \lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle неположительный, то есть

D=(2\langle x,\;y\rangle)^2-4\langle x,\;x\rangle\langle y,\;y\rangle\leqslant 0.

Следовательно,

|\langle x,\;y\rangle|\leqslant\|x\|\cdot\|y\|.
  • Если  Im \langle x,y \rangle \ne 0, то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде  \langle x,y \rangle = re^{i\phi}.

Определим вектор  z=e^{-i\phi}x. Тогда

 \langle z,y \rangle = e^{-i\phi}\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R и
 \langle z,z \rangle = e^{-i\phi}\langle x,e^{-i\phi}x \rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle

К скалярному произведению  \langle z,y \rangle \in \R применим результат первого пункта доказательства.

 \left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\|

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.