Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$ со скалярным произведением $\langle x,\;y\rangle$. Пусть $\|x\|$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$. Тогда для любых $x,\;y\in L$ имеем:

$|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что $\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,\;y\rangle^2=S(x,\;y)^2$, где $S(x,\;y)$ — площадь параллелограмма, натянутого на векторы $x$ и $y$.

В общем случае:

$\|x\|^2-\frac{\langle x,\;y\rangle^2}{\|y\|^2}=\left\|x-\frac{\langle x,\;y\rangle}{\|y\|^2}y\right\|^2.$

Примеры

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^2$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),$

где $\bar{y}_k$ обозначает комплексное сопряжение $y_k$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

где $\mathrm{cov}$ обозначает ковариацию, а $\mathrm{D}$ — дисперсию.

Доказательство

• Если $\langle x,y \rangle \in \R ,$ то $\forall \lambda \in \R$ верно следующее

$0\leqslant\langle\lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle.$

Значит дискриминант многочлена $\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle$ неположительный, то есть

$D=(2\langle x,\;y\rangle)^2-4\langle x,\;x\rangle\langle y,\;y\rangle\leqslant 0.$

Следовательно,

$|\langle x,\;y\rangle|\leqslant\|x\|\cdot\|y\|.$

• Если $Im \langle x,y \rangle \ne 0,$ то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде $\langle x,y \rangle = re^{i\phi}.$

Определим вектор $z=e^{-i\phi}x.$ Тогда

$\langle z,y \rangle = e^{-i\phi}\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R$ и

$\langle z,z \rangle = e^{-i\phi}\langle x,e^{-i\phi}x \rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle$

К скалярному произведению $\langle z,y \rangle \in \R$ применим результат первого пункта доказательства.

$\left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\|$