Неравенство Маркова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R} определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}), и её математическое ожидание \mathbb{E}X конечно. Тогда

\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a},

где a>0.

Если в неравенство подставить вместо случайной величины X случайную величину (X-\mathbb{E}X)^{2}, то получим неравенство Чебышёва:

\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть X \geqslant 0 — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв a = 2 \mathbb{E}X, получаем

\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}.

Пример[править | править вики-текст]

В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут? Дайте грубую оценку сверху. Ответ:

\mathbb{P}(|X| \geqslant 15) \leqslant 3/15 = 0.2.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]