Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, и её математическое ожидание конечно. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a}$,

где a > 0.

Примеры

Пусть $X \geqslant 0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a = 2 \mathbb{E}X$, получаем

$\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}$.

В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что опаздывают на 15 и более минут? Дайте грубую оценку. Ответ: $\mathbb{P}(|X| \geqslant 15) \leqslant 3/15 = 0.2$

См. также

• Неравенство Чебышёва;
• Марков, Андрей Андреевич (старший).