Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R+}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, и её математическое ожидание $\mathbb{E}X$ конечно. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a}$,

где $a>0$.

Если в неравенство подставить вместо случайной величины $X$ случайную величину $X-\mathbb{E}X$, то получим неравенство Чебышева:

$\textrm{Pr}(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.$

Пример

Пусть $X \geqslant 0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a = 2 \mathbb{E}X$, получаем

$\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}$.

Пример

В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут? Дайте грубую оценку сверху. Ответ:

$\mathbb{P}(|X| \geqslant 15) \leqslant 3/15 = 0.2$.

См. также

• Неравенство Чебышёва;
• Марков, Андрей Андреевич (старший).

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышева