Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $p$-ой степенью.

Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой, и функции $f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu)$, то есть $\int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty$, где $p \ge 1$, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$, и более того:

$\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}$.

Доказательство

Сначала докажем, что

$f,g \in L^{p} (E) \Rightarrow |f+g|^{p}$ суммируема на $\, E$.

Введем множества: $E_1=E[|f| \geq |g|] \quad E_2=E[|f| < |g|]$

$\int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_1} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu$
$\int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_2} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu$

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu + \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu + 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu < \infty$

Перейдем к доказательству неравенства Минковского:

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_E |f+g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu+ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu$

$|f| \in L^{p}, |f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q} \in L^{q} \Rightarrow$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

$\int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$
$\int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$

Таким образом:

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} + (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$

Делим левую и правую части на $(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда $(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} = 0$ неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ можно ввести норму:

$\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$. $L^p$-норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$,

и тогда

$\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E$.

Если $n = 2,3$ и $p = 2$, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, таких что

$\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty$,

называется $l^p$. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

$\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p$.

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$-м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$, где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

$\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}$.

Литература

• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера