Неравенство Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой p-ой степенью.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu)пространство с мерой, и функции f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu), то есть \int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty, где p \ge 1, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu), и более того:

\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Сначала докажем, что

 f,g \in L^{p} (E) \Rightarrow |f+g|^{p} суммируема на  \, E.

Введем множества: E_1=E[|f| \geq |g|] \quad E_2=E[|f| < |g|]

 \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_1} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu
 \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_2} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu

 \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu + \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu + 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu < \infty

Перейдем к доказательству неравенства Минковского:

 \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_E |f+g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu+ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu

|f| \in L^{p}, |f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q} \in L^{q} \Rightarrow можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

 \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}
 \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}

Таким образом:

 \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} + (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}

Делим левую и правую части на (\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} .

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда (\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} = 0 неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.

Замечание[править | править вики-текст]

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве L^p(X,\mathcal{F},\mu) можно ввести норму:

\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p},

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Евклидово пространство[править | править вики-текст]

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E.

Если n = 2,3 и p = 2, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lp[править | править вики-текст]

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, mсчётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty,

называется l^p. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p.

Вероятностное пространство[править | править вики-текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}.

Литература[править | править вики-текст]

  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

См. также[править | править вики-текст]